Aproximación de $\sum_{n=0}^\infty 2^{-n} \tanh(3^n x)$ $x = 0$

Question

Quiero (asintótico de la función) aproximar la serie $f(x) = \sum_{n=0}^\infty 2^{-n} \tanh(3^n x)$ todo $x = 0$.

He encontrado la ecuación de $f(x)$:

$$f(x) = \dfrac{1}{2}\ f(3x) + \tanh(x)$$

para $f(x)=\dfrac{1}{2}f(3x) \Rightarrow f(x) = A\ x^{\log_32}$

deje $A = A(x) \Rightarrow A(x) = \Theta(\ln(x))$ donde $\Theta(x) $ cualquier función con un periodo $\ln3$

Answer 1

Una alternativa justificación de la $\log_3 2$ exponente es el siguiente: supongamos que queremos aproximar $f$ algunos $x^a$, donde $a>0$ , de modo que $\lim_{x\to 0} x^{-a}f(x)=c$ con $0<c<\infty$. El funcional de la ecuación muestra $$c=\frac {3^a}2c+\begin{cases} 0 & \text{if }a<1 \\ 1 &\text{if } a=1 \\ \infty & \text{if }a>1\end{cases}$$ Que las fuerzas de $a<1$ e $a=\log_3 2$.

Dado este valor de $a$, en lugar de mirar a $\lim x^{-a}f(x)$ como $x\to 0$ nos fijamos en $F(x)=3^{-ax}f(3^x)=2^{-x}f(3^x)$ como $x\to -\infty$. Poner a $g(x)=2^{-x}\tanh(3^x)$ muestra $F(x)=\sum_{n\ge 0}g(x+n)$. Debido a $g(x)\le(\frac 32)^x$, $\sum_{n\le 1} g(x+n)\le 2(\frac 32)^x$ e lo $\bar F(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}g(x+n)$ tiende a $F$ como $x\to -\infty$. Pero $\bar F$ tiene período de $1$ así que toda la información acerca de lo que se puede inferir a partir de su comportamiento en $[0,1]$.

Como también tenemos $g(x)\le 2^{-x}$, para cualquier $x$ en la unidad de intervalo, $g(x+n)\le 2^{1-n}$ e $g(x-n)\le (\frac 32)^{1-n}$ , de modo que $$\left|\bar F(x)-\sum_{-N}^N g(x+n)\right|\le 2^{1-N}+3\left(\frac 23\right)^N $$ Por lo tanto, la serie converge uniformemente, y lo hace en una forma geométrica de la tasa. Esto significa que uno puede obtener una aproximación muy buena para $\bar F$ y este a su vez se aproxima $F$ en el límite.