Un topos (Grothendieck) se define como una categoría equivalente a la categoría de haces en algún sitio. La principal diferencia de un topos y un sitio web es sobre sus morfismos. Noté que algunos libros sobre cohomología Etale no utilizan la noción de topos. Parece estudio de sitios es suficiente para Etale cohomología. Pero topos fue inventado en la geometría algebraica. ¿Me pregunto en qué área de la geometría algebraica, estudio de topoi no puede ser reemplazado por el estudio de sitios?
Respuestas
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Mike Ohlsen
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De hecho, todos los topoi conozco personalmente a aparecer en la geometría algebraica son Grothendieck toposes, por lo tanto toposes de poleas más de algún sitio.
Sin embargo, NO hay una correspondencia uno a uno entre los morfismos de sitios y morfismos de la toposes sobre ellos. En particular, los morfismos entre el cristalino toposes no puede ser realizado por morfismos entre el subyacente de los sitios. Esta es una razón por la que estamos muy interesados en toposes.
Hay también otras razones, por ejemplo, que proporcionan una base "independiente" (sitio independiente) noción; la explotación de que el mismo topos pueden ser presentados en muy diferentes sitios es el corazón de Olivia Caramello del programa de toposes como puentes. También podemos aprovechar el lenguaje interno de un topos permite reducir algunas nociones y teoremas de la geometría algebraica a las nociones y teoremas de álgebra lineal y desarrollar un sintético en cuenta el esquema de la teoría (ver estas notas).
Ross Ahmed
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El teorema de "topos= gavilla en algún sitio" falla por $\infty$-topoi. Así que supongo espectral de la geometría algebraica puede ser una respuesta natural.
Edit: Además, incluso en el ordinario de la teoría, a menudo es más fácil pensar de cohomology en el topos que en el sitio. La más extravagante manera de explicar esto sería: para cohomology en un sitio que no tiene un objeto final, cohomology de un abelian gavilla $F$ naturalmente $\text{Ext}^i (*, F).$ El topos tiene un objeto inicial(*) aunque el sitio no tiene un objeto final. La forma de describir esta por permanecer en el sitio implicaría la derivada de la inversa de los límites.
