Demostración de la ortogonalidad de los vectores unitarios en un sistema de coordenadas curvilíneas ortogonales

Question

Contexto

Supongamos que $\mathbf{R}(q_1,q_2,q_3)=\mathbf{r}(x,y,z)$ representa un vector de posición en el espacio físico en un sistema de coordenadas curvilíneas definido por $q_i=q_i(x,y,z)$ para $i=1,2,3$ . La cartografía inversa $x=x(q_1,q_2,q_3)$ (de manera similar para $y$ y $z$ ) también existe.

El sistema curvilíneo es ortogonal si, en el punto de intersección de los planos $q_i=\text{constant}$ las normales de estos planos son mutuamente perpendiculares. Por lo tanto, en cualquier punto $(x_0,y_0,z_0)$ \begin{align} \nabla q_1\cdot\nabla q_2=0=\nabla q_2\cdot\nabla q_3=\nabla q_3\cdot\nabla q_1. \tag{1} \end{align}

Los vectores unitarios ( $\mathbf{e}_i$ ) se definen como \begin{align} \mathbf{u}_i=&\ \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_i},\\ \mathbf{e}_i=\frac{\mathbf{u}_i}{\lVert\mathbf{u}_i\rVert}=&\ \frac{\partial \mathbf{r}/\partial q_i}{\lVert\partial \mathbf{r}/\partial q_i\rVert}. \end{align}

Pregunta

Demostrar que $\mathbf{e}_i\cdot\mathbf{e}_j=\delta_{ij}$ (Delta de Kronecker).

Nota

Se puede probar

1. $\mathbf{u}_i\times\nabla q_i=\mathbf{0}$ (es decir; $\mathbf{u}_i$ es paralelo a $\nabla q_i$ ) para que la ortogonalidad se desprenda de la ec. (1),
2. O bien, demostrar que $\mathbf{u}_i\cdot\nabla q_j=0$ para $i\neq j$

Utilizando el método 2, una forma podría ser considerar $$\text{d}q_1=1\,\text{d}q_1+0\,\text{d}q_2+0\,\text{d}q_3=\frac{\partial q_1}{\partial x}\text{d}x + \frac{\partial q_1}{\partial y}\text{d}y + \frac{\partial q_1}{\partial z}\text{d}z. \tag{2}$$ Ampliar $\text{d}x$ como $$\text{d}x=\frac{\partial x}{\partial q_1}\text{d}q_1 + \frac{\partial x}{\partial q_2}\text{d}q_2 + \frac{\partial x}{\partial q_3}\text{d}q_3,$$ y sustituyendo de nuevo en la ec. (2) junto con expansiones similares para $\text{d}y$ y $\text{d}z$ se puede demostrar igualando los coeficientes de $\text{d}q_i$ en la ecuación (2) que $$1=\frac{\partial q_1}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial q_1} + \frac{\partial q_1}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial q_1} + \frac{\partial q_1}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial q_1}=\nabla q_1\cdot\mathbf{u}_1,\\ 0=\frac{\partial q_1}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial q_2} + \frac{\partial q_1}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial q_2} + \frac{\partial q_1}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial q_2}=\nabla q_1\cdot\mathbf{u}_2,\\ 0=\frac{\partial q_1}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial q_3} + \frac{\partial q_1}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial q_3} + \frac{\partial q_1}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial q_3}=\nabla q_1\cdot\mathbf{u}_3.$$

Del mismo modo, proceder con $\text{d}q_2$ y $\text{d}q_3$ demuestra el resultado. Pero este análisis podría hacerse para cualquier sistema curvilíneo. ¿Dónde se invoca la suposición de un sistema curvilíneo ortogonal (ecuación (1))? ¿Qué hay de malo en esta demostración?

Editar

Gracias a Respuesta de Kenny Wong por señalar que

1. La relación $\mathbf{u}_i\cdot\nabla q_j=\delta_{ij}$ se cumple en cualquier sistema de coordenadas curvilíneas (no es necesario que sean ortogonales). No hay nada de malo en la prueba mostrada en la pregunta. Sólo demuestra que $\mathbf{u}_i\cdot\nabla q_j=\delta_{ij}$ pero no que $\mathbf{u}_i\cdot\mathbf{u}_j=0$ para $i\neq j$ .
2. Para un sistema de coordenadas curvilíneas ortogonales, este resultado ( $\mathbf{u}_i\cdot\nabla q_j=\delta_{ij}$ ) junto con la ec. (1) demuestra que $\mathbf{u}_i$ es paralelo a $\nabla q_i$ y por lo tanto $\mathbf{u}_i\cdot\mathbf{u}_j=0$ para $i\neq j$ .

Answer 1

El origen de la confusión es que $\mathbf{ u}_i $ y $\nabla q_i $ no son lo mismo. Ni siquiera son necesariamente paralelas.

Déjeme darle un ejemplo. Trabajaremos en dos dimensiones, con $$ q_1 = x + y, \ \ \ q_2 = y.$$

Invirtiendo esto, obtenemos

$$ x = q_1 - q_2, \ \ \ y = q_2.$$

Así que $$ \mathbf{u}_1 = (1, 0), \ \ \ \mathbf{u}_2 = (-1, 1),$$ $$ \nabla q_1 = (1, 1), \ \ \ \nabla q_2 = (0, 1).$$ Como puede ver el $\mathbf{u}_i$ no son lo mismo que el $\nabla q_i$ 's, ¡ni siquiera hasta el escalamiento!

Es cierto que $$ \mathbf{u}_i . \nabla q_j = \delta_{ij},$$ como ha demostrado correctamente en su pregunta.

Pero a usted le interesa algo diferente: le interesa si $\mathbf{u}_i . \mathbf u_j = 0$ para $i \neq j$ . Y como el $\mathbf{u}_i$ no son paralelos al $\nabla q_i$ simplemente no podemos saber si $\mathbf{u}_i . \mathbf u_j = 0$ para $i \neq j$ , sabiendo sólo que $\mathbf{u}_i . \nabla q_j = \delta_{ij}$ .

Creo que la gente llama $\{ \mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2 \}$ la base "original" y $\{ \nabla q_1, \nabla q_2 \}$ la base "dual". Son dos bases diferentes, como muestra este ejemplo.

---

Volviendo a la pregunta original, creo que lo que hay que hacer es demostrar que $\mathbf{u}_i$ y $\nabla q_i$ son lo mismo, hasta el escalamiento, con la condición de que las coordenadas sean ortogonales .

En realidad, esto es bastante fácil de hacer. Escribamos

$$ \mathbf{u}_1 = c_1 \nabla q_1 + c_2 \nabla q_2,$$

donde $c_1, c_2$ son coeficientes que debemos determinar.

Si punteamos ambos lados con $\nabla q_1$ o con $\nabla q_2$ obtenemos

$$ 1 = \mathbf{u}_1 . \nabla q_1 = c_1 \nabla q_1 . \nabla q_1 + c_2 \nabla q_2 . \nabla q_1 = c_1 \| \nabla q_1\|^2$$

$$ 0 = \mathbf{u}_1 . \nabla q_2 = c_1 \nabla q_1 . \nabla q_2 + c_2 \nabla q_2 . \nabla q_2 = c_2 \| \nabla q_2\|^2 $$

Permítanme aclarar lo que acabo de hacer:

• En el lado izquierdo, he utilizado las relaciones $\mathbf{u_i} . \nabla q_j = \delta_{ij}$ que ha demostrado su generalidad para todos los sistemas de coordenadas.

• En el lado derecho, utilicé el hecho de que $\nabla q_1 . \nabla q_2 = 0$ , lo que es cierto sólo para una elección ortogonal de coodinatos.

De todos modos, este ejercicio nos dice que $c_1 = 1 / \| \nabla q_1 \|^2$ y $c_2 = 0$ Así que

$$ \mathbf{u}_1 = \frac{\nabla q_1}{\| \nabla q_1 \|^2}.$$

Y si hacemos lo mismo con $\mathbf{u}_2$ obtenemos

$$ \mathbf{u}_2 = \frac{\nabla q_2}{\| \nabla q_2 \|^2}.$$

Así, bajo el supuesto de que las coordenadas son ortogonales, encontramos que los dos conjuntos de vectores base $\{ \mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2 \}$ y $\{\nabla q_1, \nabla q_2 \}$ son la misma cosa, hasta el reescalado. Dado que $\{\nabla q_1, \nabla q_2 \}$ es una base ortogonal por suposición, debe seguirse que $\{ \mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2 \}$ también es ortogonal.