Encontrando una ecuación vectorial para la línea tangente de la curva formada por la intersección de dos cilindros

Question

Actualmente estoy trabajando a través de preguntas en el libro de texto "Stewart Calculus": Early Transcendentals, 8ª edición". Afortunadamente, el libro de texto también tiene un manual de soluciones pero me cuesta entender por qué hicieron lo que hicieron.

La cuestión es encontrar una ecuación vectorial para la línea tangente a la curva de intersección de los cilindros $x^2+y^2=25$ y $y^2+z^2=20$ en el punto $(3,4,2)$ .

Esta fue su solución:

Estoy confundido con la primera parte donde mencionan que la proyección está contenida en el círculo $x^2+y^2=25$ . Grafiqué los dos cilindros usando GeoGabra y obtuve:

Por lo que parece, la proyección de la intersección no parece un círculo. A menos que literalmente se refieran a que está contenida dentro de ese círculo, lo cual supongo que es cierto, pero ¿podríamos haber dicho también que esta curva estaba contenida dentro de $x^2+y^2=36$ y trabajando con $x=6$ $\cos {t}$ y $y=6$ $\sin {t}$ para el resto del problema y que eso funcione también?

Me cuesta trabajo entender el uso de la proyección cuando todo el rastro no está cubierto en la intersección como en la pregunta anterior, donde hay una pequeña porción en rojo que no es intersectada por el otro cilindro. Espero que mi pregunta tenga sentido, por favor, hágame saber si hay partes en las que debería expandirme.

Answer 1

Creo que tienes razón al decir que literalmente querían decir que la curva está "contenida" en el círculo $x^2+y^2=25$ . Más concretamente, $C$ se encuentra en el límite del cilindro de radio $5$ . Obsérvese que cada sección transversal del cilindro es el círculo $x^2+y^2=25$ .