El determinante de una específica circulantes de la matriz, $A_n$

Question

Vamos

$$A_2 = \left[ \begin{array}{cc} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{array}\right]$$

$$A_3 = \left[ \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}\right]$$

$$A_4 = \left[ \begin{array}{cccc} 0 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0\end{array}\right]$$

y así sucesivamente para $A_n$.

Se me pidió para calcular el determinante de la $A_1, A_2, A_3, A_4$ y, a continuación, supongo que sobre el factor determinante para $A_n$ en general. Por supuesto, el patrón es claro que

$$ \det A_n = (n-1)(-1)^{n-1} $$

pero me preguntaba cuanto a lo de la prueba de esto es. Traté de ser inteligente con el cofactor de las expansiones, pero no pude conseguir en cualquier lugar.

Podría alguien que me lo explique por favor?

Answer 1

Observar que $A_n = E_n - I_n$ donde $E_n$ es la matriz con todas sus entradas iguales a $1$ $I_n$ es la matriz identidad. Por lo que el espectro de $A_n$ será el mismo que el espectro de $E_n$ traducido por $-1$. Pero el espectro de $E_n$ es un autovalor igual a $n$ $n-1$ autovalores iguales a cero. Traducir esto por $-1$ y tiene un autovalor igual a $n-1$ $n-1$ autovalores igual a $-1$.

Answer 2

Aquí es un modo elemental para calcular el determinante de a $A_n$: Agregar la fila 2 a la fila 1, agregar la fila 3 a la fila 1, ..., y añadir fila $n$ a la fila 1, obtenemos $$\det(A_n)=\begin{vmatrix} n-1 & n-1 & n-1 & \cdots & n-1 \\ 1 & 0 & 1 &\cdots & 1 \\ 1 & 1 & 0 &\cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 1 & 1 & \ldots & 0 \\ \end{vmatrix}.$$ El próximo restar la columna 2 columna 1, restar la columna 3 columna 1, ..., restar la columna de $n$ por columna 1, obtenemos $$\det(A_n)=\begin{vmatrix} n-1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & -1 & 0 &\cdots & 0 \\ 1 & 0 & -1 &\cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 0 & 0 & \ldots & -1 \\ \end{vmatrix}=(-1)^{n-1}(n-1).$$

Answer 3

Hay una combinatoria manera de ver este problema, también.

Un $n \times n$ $0$-$1$ matriz $M$ puede ser visto como describir permitido asignaciones de $\{1, 2, \ldots, n\}$ a, donde, $$M_{ij} = \begin{cases} 1, & \text{ if } i \text{ can be mapped to }j; \\ 0, & \text{ otherwise.}\end{cases}$ $ La permanente de $M$ da el número de permutaciones de $\{1, 2, \ldots, n\}$ por debajo del permitido asignaciones, y el determinante de a $M$ da el número de incluso permutaciones menos el número de permutaciones impares, de nuevo bajo el permitido de asignaciones.

El permitido permutaciones $\sigma$ bajo $A_n$ matrices son aquellos para los cuales la $\sigma(i) \neq i$ cualquier $i$. En otras palabras, el permitió que las permutaciones son las alteraciones $D_n$. Así $$\text{perm } A_n = D_n,$$ y $$\det A_n = E_n - O_n,$$ donde $E_n$ es el número de incluso alteraciones en $n$ elementos, y $O_n$ es el número de impares alteraciones en $n$ elementos.

Es un poco largo para incluir aquí, pero hay una combinatoria prueba de que $E_n - O_n = (-1)^{n-1}(n-1)$ emparejando pares e impares alteraciones y al observar que no se $n-1$ alteraciones de la izquierda. Véase, por ejemplo, el papel de "Recuento de las probabilidades de un trastorno," por Benjamín, Bennett, y Newberger (Mathematics Magazine 78(5) 2005, pp 387-390).

Answer 4

El determinante de un general circulantes de la matriz está dada por \begin{eqnarray*} \left| \begin{array} {ccccc} x_0 & x_{n-1} & \cdots & x_2 &x_1 \\ x_1 & x_0 &\cdots & x_3 & x_2\\ x_2 & x_1 & \cdots & x_4& x_3 \\ \vdots & \vdots & ~ & \vdots & \vdots \\ x_{n-2} & x_{n-3} &\cdots &x_0 & x_{n-1} \\ x_{n-1} & x_{n-2} &\cdots &x_1 & x_0 \end{array} \right| = \prod_{p=0}^{n-1} \left( x_0 + \omega^p x_1 +\cdots + \omega^{(n-1)p}x_{n-1} \right) \end{eqnarray*} donde $\omega = e^{2 \pi i /n} $ $n$th raíz de la unidad; también satisface la identidad de $ \sum_{q=1}^{n-1} \omega^{qd} = -1 $ $d \neq 0$. Así \begin{eqnarray*} \left| \begin{array} {ccccc} 0 & 1 & \cdots & 1 &1 \\ 1 & 0 &\cdots & 1 & 1\\ 1 & 1 & \cdots & 1& 1 \\ \vdots & \vdots & ~ & \vdots & \vdots \\ 1 & 1 &\cdots & 0 & 1\\ 1 & 1 &\cdots & 1 & 0 \end{array} \right| = (0+1+\cdots +1) \prod_{p=1}^{n-1} \left( \omega^p +\cdots + \omega^{(n-1)p} \right)= (n-1)\prod_{p=1}^{n-1} (-1)= (n-1)(-1)^{n-1} \end{eqnarray*}