¿Primero hace contable implica equivalencia de secuencial y compacidad de punto límite?

Question

Steen y Seebach decir que: Si un espacio topológico $X$ es la primera contables, secuencialmente compacto es equivalente al límite de punto de compacidad $X$.

Tome $X=\mathbb{N}\times\{0,1\}$, donde $\mathbb{N}$ tiene la topología discreta y $\{0,1\}$ tiene la topología indiscreta. Este espacio es el primero contables desde el topologías en $\mathbb{N}$ e $\{0,1\}$ son de primera contables. Por lo tanto se debe satisfacer la declaración en el párrafo anterior.

Sin embargo, si uno toma una secuencia como $\{(n,0)\}$ en $X$, no hay convergente subsecuencias para limitar los puntos como $(1,1)$. En otras palabras, no se puede encontrar una larga de $\{(n,0)\}$ que converge a $(1,1)$, incluso a pesar de $(1,1)$ es un punto límite de la secuencia. Esto parece violar la declaración en el primer párrafo.

No veo donde estoy haciendo el error con este ejemplo. Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Parece que tienes un poco de confusión acerca de las definiciones. Steen y Seebach decir que para los primeros contable de los espacios, la compacidad secuencial es equivalente a contables compacidad, no limitar punto de compacidad. Se puede alegar que su definición de contables de compacidad es lo que otros llaman el límite de punto de compacidad pero esto es falso. En particular, una de las condiciones equivalentes para los contables de compacidad que dan es:

Cada secuencia tiene un punto de acumulación.

Esta es no es la misma como punto límite de compacidad, lo que significa que en lugar de que

Cada conjunto infinito tiene un punto límite.

Por supuesto, el punto límite de compacidad se puede comprobar simplemente contable de conjuntos, ya que cada conjunto infinito tiene un countably subconjunto infinito, pero la diferencia clave es que una acumulación punto de la secuencia no es la misma cosa como un punto límite de la serie de términos de la secuencia. En particular, $x$ es un punto de acumulación de una secuencia $(x_n)$ si para cada vecindario $U$ de $x$, existen infinidad de $n$ tal que $x_n\in U$. En contraste, $x$ es un punto límite de la set $\{x_n\}$ si para cada vecindario $U$ de $x$existe $n$ tal que $x_n\neq x$ e $x_n\in U$. En tu ejemplo, $(1,1)$ es un punto límite de la set $\{(n,0):n\in\mathbb{N}\}$ pero no una acumulación punto de la secuencia $(x_n)$ con $x_n=(n,0)$.

Así, su espacio es realmente la primera contables, punto límite compacto, y no secuencialmente compacto. Esto no contradice Steen y Seebach la declaración a pesar de que, desde su espacio no es countably compacto.