Cómo encontrar el intervalo donde funciona $f(x)=x+ \frac {1}{x^{3}}$ es uno a uno \injective ?

Question

Cómo encontrar el intervalo donde la función es uno a uno $f(x)=x+ \frac {1}{x^{3}}$ ?(gráficamente o algebraicamente analíticamente) Deje que $f(x) =f(y)$ esto da $ (x-y)( \frac {(xy)^{3}-y^{2}-x^{2}+xy}{(xy)^{3}})=0 $

No sé cómo seguir adelante.

Answer 1

Sugerencia :

$$f'(x) = 1 - \frac{3}{x^4} \implies \begin{cases} f'(x) > 0, \; x \in (-\infty,-3^{1/4})\cup(3^{1/4},\infty) \\ f'(x) <0, \; x \in (-3^{1/4},0)\cup(0,3^{1/4}) \end{cases}$$

Answer 2

Tenga en cuenta que $f'(x) = 1-\frac{3}{x^4}$ . Para $|x| < 3^{1/4}$ , $f'<0$ . Así que, $f$ es uno a uno en esta región (con $x = 0$ excluidos), como se puede ver en el gráfico proporcionado por @greedoid.

Answer 3

Si tenemos un máximo local en $a$ y el mínimo en $b$ entonces es inyectiva en

$\bullet \;\;\;\; (-\infty,a)\cup (b,\infty)$ o

$\bullet \;\;\;\; (a,b)\setminus \{0\}$