ODE de segundo orden, que demuestra que los polinomios en$t_0$ son cero

Question

La siguiente ODA es: $$y''(t) + p(t)y'(t) + q(t)y(t)=0$$

Cuando $p(t), q(t)$ son funciones continuas. Nos dan dos lineal de soluciones independientes $y_1(t), y_2(t)$ y también se $y_1''(t_0) = y_2''(t_0) = 0$.

Necesito demostrar que $p(t_0) = q(t_0) = 0$.

Lo que he intentado es sólo colocar el cero de la segunda derivada de cada función en la educación a distancia, y el trabajo con la Wronskian. Sin embargo, me terminan con $$p(t)(y_1'(t_0) - y_2'(t_0)) + q(t)(y_1(t_0) - y_2(t_0))$$ , que no es el Wronskian.

Alguna ayuda?

Answer 1

De los supuestos se obtiene $$ \begin{aligned} 0 + p(t_0) y_1'(t_0) + q(t_0) y_1(t_0) &= 0 , \\ 0 + p(t_0) y_2'(t_0) + q(t_0) y_2(t_0) &= 0 . \end {alineado} $$ Eso es un sistema $2 \times 2$ lineal para $p(t_0)$ y $q(t_0)$ . ¿Puedes tomarlo desde aquí?