Dada una secuencia $\{S_n\}$, $n\in\Bbb N$: $$ S_n=1+{x\over1!}+{x^2\over2!}+\cdots+{x^n\sobre n!} $$ Demostrar que $S_n$ converge para todos los $x\in\Bbb R$.
Por favor, tenga en cuenta que conozco a $S_n$ es una simple serie de Taylor para $e^x$, el caso es que yo no debería saber (y/o uso) que el hecho de que a la hora de resolver este problema ya que los derivados no han sido definidos todavía.
He empezado con un caso más sencillo asumiendo $x = 1$. Así que la secuencia se convierte en: $$ S_n = 1+{1\over1!}+{1\over2!}+\cdots+{1\over n!} $$
Parece razonable utilizar Criterio de Cauchy para la secuencia. Es decir, supongamos $m>n$, entonces, queremos mostrar: $$ |x_n - x_m| < \epsilon \\ |x_m - x_n| = \left|\sum_{k=n+1}^m {1\over k!}\right| $$ Vamos a tratar de forma obligada la suma de: $$ \begin{align} {1\over k!} &= {1\over k!}\left(1 - {1\over k} + {1\over k}\right) \\ &\le {1\over k!}\left(1 + {1\over k-1} - {1\over k}\right) \\ &= {1\over k!}\left({k\over k -1} - {1\over k}\right) \\ &= {1\over (k - 1)(k-1)!} - {1\over k\cdot k!} \end{align} $$
Por telescópica obtenemos: $$ \left|\sum_{k=n+1}^m {1\over k!}\right| \le \left|{1\over n\cdot n!} - {1\over m\cdot m!}\right| $$
Dado $m>n$ e $n,m \in \Bbb N$: $$ \left|{1\over n\cdot n!} - {1\over m\cdot m!}\right| \le \left|1\over n\cdot n!\right| = {1 \over n\cdot n!} $$
Aplicar el límite a $|x_m - x_n|$ uno puede obtener: $$ 0 \le \lim_{n\to\infty}|x_{n+p} - x_n| \le \lim_{n\to\infty} {1\over n\cdot n!} = 0 $$
Así que apretando $|x_m - x_n|$le da: $$ \lim_{n\to\infty}|x_{n+p} - x_n| = 0,\ p\ \ en \Bbb N $$
Finalmente decir: $$ |x_m - x_n| < \epsilon $$
Sin embargo no estoy seguro de cómo encontrar el índice de $N_\epsilon$ a partir de la cual la desigualdad se convierte en verdad, ya que la expresión para el límite superior implica un factorial.
Si ahora ponemos $x = x_0 \in \Bbb R$: $$ 0 \le \lim_{n\to\infty}|x_{n+p} - x_n| \le \lim_{n\to\infty} {x_0\más n\cdot n!} = 0 $$ Que no influyen en el valor del límite.
Hay tres preguntas en mi mente:
- Es el razonamiento válido?
- Es posible encontrar una forma cerrada de $N(\epsilon)$, de tal manera que $n, m > N_\epsilon \implies |x_n - x_m| < \epsilon$?
- Debo considerar dos casos para $x\ge 0$ e $x<0$
Gracias!
