¿Hay un teorema de punto fijo que se podría utilizar para resolver este problema?

Question

deje $E = C([0,1]),\,\,$ $K : E \a E, \,\, (Kf)(x) = \int_0^1 K(x,y)f(y)dy$

también se $\|K\| \leq a < 1$

Quiero demostrar que hay para $g \in E$ existe un único $f_g \in E$ que satisface la siguiente ecuación :

$f_g + Kf_g = g$

lo que equivale a mostrar que la $T : E \to E,\,\,T(f) = g-Kf$ tiene un punto fijo.

con lo que tengo en las manos siento que debe haber algún teorema que me falta.

cualquier ayuda será muy apreciada !

Answer 1

Se puede aplicar el mapeo de la contracción, también conocido como Teorema del punto fijo de Banach. Dadas <span class="math-container">$f,h\in C([0,1])$</span>, <span class="math-container">$ \ | TF-Th\ | \le\int_0 ^ 1 | K (x, y) | \, | f (y)-h (y) | \, dy\le\ | K\ | \, |f-h\ | <span class="math-container">$0<a>.</a></span></span>

Answer 2

Esto no es un teorema de punto fijo, pero es bien sabido que si <span class="math-container">$T:E\to E$</span> es un operador lineal acotado con <span class="math-container">$|I-T| <span class="math-container">$T$</span> tiene un inverso acotado <span class="math-container">$ T ^ {-1} = \sum_ {k = 0} ^ \infty (T i) ^ k. $$ In your case, since <span class="math-container">$ \ | Me-(I+K) \ | , tenemos <span class="math-container">$$ f_g = (I + K) ^ {-1} g, \quad |f_g|\leq \ | () I + K) ^ {-1} ||g|. $$</span></span></span></span>