Serie de energía formal y límite inverso

Question

Deje $G$ ser un grupo libre con generadores $g_1,g_2,\dots$. Considerar el anillo de grupo $RG$, donde $R$ es un anillo conmutativo.

Deje $\epsilon: RG\to G$ ser el aumento de la asignación y deje $I=\ker\epsilon$ ser el aumento ideal de $RG$.

Para ser precisos, $\epsilon$ es el mapa $$\epsilon(\sum_{g\in G}a_gg)=\sum_{g\in G}a_g$$

Deje $A=\lim_n RG/I^n$, el límite inversa. ¿Cómo describimos $A$ como un poder formal de la serie?

Me dijeron que $A$ es un álgebra de poder formal de la serie en no-desplazamientos variables ($g_1+1,g_2+1,\dots$?), pero no estoy seguro de cómo demostrarlo.

Gracias.

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He leído la pregunta en el Ejercicio de la Rotman: poder formal de la serie de anillo como límite inversa, posiblemente el primer paso es construir una relación inversa entre el sistema, el cual es:

$\psi_{n,m}: RG/I^m\to RG/I^n$

$\alpha+I^m\mapsto \alpha+I^n$ para todos los $m\geq n$.

Answer 1

No conmutativa de alimentación de la serie es, por definición,

$$\mathbb C\langle\langle y_1,\ldots, y_n\rangle\rangle = \lim_N\ \mathbb C\langle y_1,\ldots, y_n\rangle/(y_1,\ldots, y_n)^N$$

Hay un cambio lineal de variables isomorfismo $\mathbb C\langle y_1,\ldots, y_n\rangle \cong \mathbb C\langle x_1,\ldots, x_n\rangle$ envío de $y_i = 1 - x_i$, por lo que no conmutativa de alimentación de la serie es también igual a la

$$"\ = \lim_N\ \mathbb C\langle x_1,\ldots,x_n\rangle/(1-x_1,\ldots,1-x_n)^N$$

También puede voltear el signo en el $x_i$ , si quería.

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El mapa

$$\mathbb C \langle x_1,\ldots,x_n, x_1^{-1},\ldots,x_n^{-1}\rangle \ \ \to\ \ \lim_N\ \mathbb C\langle x_1,\ldots,x_n\rangle/(1-x_1,\ldots,1-x_n)^N$$

el envío de $x_i \mapsto x_i$ está bien definido debido a $x_i^{-1} = \frac1{1-(1-x_i)} = \sum (1-x_i)^k$ es convergente con respecto al límite.

El aumento ideal es la preimagen de $J = (1-x_1,\ldots, 1-x_n)$ el poder formal de la serie ring, porque $1 - x_i^{-1} = -x_i^{-1}(1-x_i)$. Así que el homomorphism se extiende a la finalización, $$\lim_N\, \mathbb C\langle x_1,\ldots, x_n,x_1^{-1},\ldots,x_n^{-1}\rangle/I^N \ \ \to\ \ \lim_N\ \mathbb C\langle x_1,\ldots,x_n\rangle/(1-x_1,\ldots,1-x_n)^N$$

Para probar que es un isomorfismo de que usted acaba de comprobar la inversa está bien definido, pero este es el más fácil de la dirección.