Mala Fracción De Reducción Que Realmente Funciona

Question

$$\frac{16}{64}=\frac{1\rlap{/}6}{\rlap{/}64}=\frac{1}{4}$$

Ciertamente, esta no es una técnica correcta para la reducción de fracciones a su mínima expresión, pero pasa a trabajar en este caso, y creo que hay otros ejemplos. Es allí una manera sistemática para generar ejemplos de este tipo de mala fracción de reducción?

Answer 1

En realidad este es el Proyecto de Euler del Problema 33 (en una forma más general). En esta entrada de blog se parece (en lugar de la fuerza bruta) se presenta el método para generar sus fracciones. Más ejemplos son $16/64$, $49/98$, $19/95$, y $26/65$. Tal vez hay una mejor manera de generar todos ellos, yo vi un par de prometedoras cuando se mira en las soluciones de proyecto euler tal vez usted quiere comprobar usted mismo.

Edit: Para números más grandes que usted tiene que decir cómo se permite cancelar los términos. Por ejemplo, se le permite a $199/995=1/5$ donde cancelar dos dígitos o de un solo dígito, hacer los dígitos tienen que estar uno al lado del otro y así sucesivamente, también hacer el numerador y el denominador tienen que tener el mismo tamaño o es de $39/975=3/75$ permitió también?

Answer 2

Antes de trabajar en esta pregunta se puede encontrar en:

Ruekberg, B. Simplificado de las matemáticas. Diario de Resultados Irreproducibles 35 (1).

Si su institución (escandalosamente) no llevar a este diario, una copia puede ser encontrado aquí.

Answer 3

Supongamos que $\frac{AB}{BC} = \frac{A}{C}$ en base de $b$, es decir $C (bA + B) = A (bB + C)$, o $B (b - C) = A (b-1) C$. Podemos escribir $A = x_1, x_2$, $b = 1 + x_3 x_4$, $C = x_5 x_6$ para enteros positivos $x_1$ $x_6$
donde $B = x_1 x_3 x_5$ y $b - C = x_2 x_4 x_6$. Esto conduce a la ecuación $x_5 = \frac{x_1, x_2 (1 + x_3 x_4)}{x_6} - x_2 x_4$. Por lo tanto dado $x_1$ $x_4$, $x_6$ debe ser un divisor de $x_1, x_2 (1 + x_3 x_4)$, $x_5$ es determinado por la ecuación, y debemos asegurar $A, B, C$ a menos de $b$. Hay un montón de soluciones, incluyendo infinito familias. Por ejemplo, con $x_1 = 2$, $x_2 = 3$, $x_3 = 7m+3$, $x_4 = 2$, $x_5 = 1$ y $x_6 = 12m+6$ (para números enteros no negativos $m$), llegamos a la $A = 6$, $B = 14m+6$, $C = 12m + 6$ y $b = 14m + 7$.

Answer 4

Esto se puede generalizar para dar dos pruebas de primalidad. Considere la ecuación $$\frac{pa + b}{pb +c} = \frac{a}{c}$$ donde $p$, $a$, $b$ y $c$ son todos los enteros positivos con $a, b, c < p$. Esta es una base de $p$ de la versión de la pregunta. Suponga que $p$ es algún entero positivo fijo. Vamos a decir que $(a, b, c)$ es una solución si la ecuación se satisface. Vamos a decir que una solución es trivial si $a = b = c$; de lo contrario, vamos a decir que la solución es trivial. Hay $p -1$ trivial soluciones. Compruebe que si $(a, b, c)$ es una solución con dos de $a$, $b$ y $c$ iguales, entonces la solución es trivial.

Suponga que $(a, b, c)$ es una solución no trivial. En este caso, el máximo común divisor de a $b$ y $p - 1$ es mayor que $1$. También el máximo común divisor de $c$ y $p$ es mayor que $1$. Podemos demostrar dos teoremas:

Teorema 1 Suponga que $p > 1$ es un número entero. Entonces $p$ es primo si y sólo si no hay soluciones no triviales.

En una dirección, esto se deduce de la observación de que el máximo común divisor de $c$ y $p$ es mayor que $1$. Recordemos que $c < p$. En la otra dirección si $p = mn$ ($n - 1, p - 1, m(n - 1) )$ es una solución no trivial.

Teorema 2 Suponga que $p > 2$ es un entero par. Entonces $p - 1$ es primo si y sólo si y sólo si en cada solución no trivial $(a, b, c)$ tenemos $b = p - 1$.

En una dirección, esto se deduce de la observación de que el máximo común divisor de a $b$ y $p - 1$ es mayor que $1$. En la otra dirección si $p - 1 = mn$ entonces $(\frac{1}{2} (m + 1), \frac{1}{2} (m + 1)n, \frac{1}{2} mn)$ es una solución no trivial.

También se puede demostrar que si $(a, b, c)$ es una solución no trivial, entonces $2a \leq c < b$. Si $p = 4$ la solución $(1, 3, 2)$ muestra estos límites son los mejores posibles.

También se puede demostrar que el número de notrivial soluciones es incluso menos que $p$ es el cuadrado de un entero par.

Answer 5

Es fácil encontrar a todos ellos. Supongamos que $\rm\: (10\ a + n)/(10\ n + b) = a/b\:.\:$ Por lo tanto $\rm\ (10\ a-b)\ n = 9\:\: b\:.$

Caso 1: $\rm\:(9,n) = 1\::\ \: 9\ |\ 10\:a-b\ \Rightarrow\ 9\ |\ a-b\ \Rightarrow a=b\ \Rightarrow\ 9\:\: n = 9\:^2\ \Rightarrow\ n=a=b\:$ (trivial)

Caso 2: $\rm\:(9,n) = 9\::\ 10\:a-b = a\b\ \Rightarrow\|b\ 10 = (b/a)\:(a+1)\:$ entonces $\rm\ a,b = 1,5\:$ o $\: 4,8\:$

que los rendimientos de las soluciones: $\:\ 19/95 = 1/5\:,\:$ y $49/98 = 1/2\:.\ $ Análisis Similar de los restantes

Caso 3: $\rm\: (9,n) = 3\::\:$ rendimientos $\:16/64 = 1/4\:,\:$ y $\: 26/65 = 2/5\:.$