Unicidad de una EDP de tipo parabólico

Question

Dejemos que $\Omega$ sea un conjunto abierto acotado en $\mathbb{R}^n$ y $0 < T < \infty$ . Dejemos que $\Omega_T = \Omega \times (0, T]$ . Dada cualquier función $f, g, h$ demostrar que \begin {Ecuación} u_t - \Delta u + |Du|^2 + \sin (u) = f(x,t), \, (x,t) \in \Omega_T \\ u(x,0)=g(x), \N y x \in \Omega \\ u(x,t)=h(x,t), \Ny, x \in \partial\Omega , \, t \in [0, T] \end {Ecuación} tiene como mucho una solución clásica.

Hasta ahora he intentado hacer lo siguiente: Supongamos que hay dos soluciones, por ejemplo $u_1$ y $u_2$ y que $v = u_1 - u_2$ . Entonces podemos escribir la ecuación que rige $v$ como \begin {Ecuación} v_t - \Delta v + |Du_1|^2 - |Du_2|^2 + \sin (u_1) - \sin (u_2) = 0, \, (x,t) \in \Omega_T \\ v(x,0)=0, \Ny, x \in \Omega \\ v(x,t)=0, \Ny, x \in \partial\Omega , \, t \in [0, T] \end {Ecuación} Si noto que $|\sin(u_1) - \sin(u_2)| \leq |u_1 - u_2| = |v|$ Entonces tengo $$0 \leq v_t - \Delta v + |Du_1|^2 - |Du_2|^2 + \sin(u_1) - \sin (u_2) \leq v_t - \Delta v + |Du_1|^2 - |Du_2|^2 + |v|$$ Sin embargo, esto me lleva a un callejón sin salida. Quería utilizar el principio de máximo débil para operadores parabólicos para terminar mi demostración, pero no veo cómo podría aplicarlo en este caso.

Answer 1

El principio de máxima es un poco más sencillo: reescribir la EDP como $$ v_t-\Delta v+\alpha Dv=-\beta v. $$ Aplicando el principio de máximo débil** y condiciones iniciales nulas se obtiene $$ \sup_{[0,s]\times\Omega} |v|\le s\,\sup_{[0,s]\times\Omega}|\beta|\,\sup_{[0,s]\times\Omega}|v|. $$ Elegir $s$ lo suficientemente pequeño da el resultado.

**Aquí recordaremos por qué el lado derecho depende de $s$ . Poniendo $v=w+Kt$ en el lado izquierdo de la EDP, obtenemos $$ Lw:=w_t-\Delta w+\alpha Dw=-\beta v-K. $$ Fijación de $s>0$ y elegir $K=\sup_{[0,s]\times\Omega}|\beta|\sup_{[0,s]\times\Omega}|v|$ produce $$L(v-Kt)\le 0,\quad 0\le t\le s.$$ Sustitución de $K$ con $-K$ y argumentando como antes da $$ L(v+Kt)\ge 0,\quad 0\le t\le s. $$ Aplicando el principio de máximo a la condición inicial nula se obtiene $$ v-Kt\le 0,\quad 0\le t\le s, $$ y $$ v+Kt\ge 0,\quad 0\le t\le s. $$ Esto implica $|v|\le Kt$ si $0\le t\le s$ .

Answer 2

En primer lugar, supongamos que hay dos soluciones, así $u_1$ y $u_2$ . Dejemos que $v = u_1-u_2$ . Entonces nuestra EDP para $v$ es \begin {Ecuación} v_t- \Delta v +|Du_1|^2-|Du_2|^2+ \sin (u_1)- \sin (u_2)=0 \N - (x,t) \in \Omega \\ v(x,0)=0, x \in \Omega \\ v(x,t)=0, x \in \partial \Omega , t \in [0,T] \end {Ecuación} Observe que $$|Du_1|^2 - |Du_2|^2 = \int_{0}^1 \frac{d}{ds} B(sDu_1(x,t)+(1-s)Du_2(x,t))ds$$ $$=\int_{0}^1 D\{B(sDu_1(x,t)+(1-s)Du_2(x,t))\}ds \cdot (Du_1-Du_2) = \alpha(u_1,u_2) \cdot Dw$$ De la misma manera, $$sin(u_1)-sin(u_2)=\int_{0}^{1}\frac{d}{ds}\{\sin(su_1(x,t)+(1-s)u_2(x,t))\}ds \cdot (u - v) = \beta(u_1,u_2) w$$ Por lo tanto, tenemos \begin {Ecuación} v_t- \Delta v + \alpha (u_1,u_2)Dv + \beta (u_1,u_2)v=0 \N, (x,t) \in \Omega \\ v(x,0)=0, x \in \Omega \\ v(x,t)=0, x \in \partial \Omega , t \in [0,T] \end {Ecuación} Definir $$E(t) = \int_{\Omega}v^2 dx$$ Entonces $$E'(t) = 2\bigg(\int_{\Omega}vv_t \,dx = 2\int_{\Omega} v\Delta v \,dx - \int_{\Omega}\beta(u_1,u_2)v^2 \,dx -\int_{\Omega}\alpha(u_1,u_2)vDv \,dx\bigg)$$ Por la identidad de Green, $$2\int_{\Omega} v\Delta v \, dx = -2\int_{\Omega}|Dv|^2 \, dx$$ La desigualdad de Cauchy da $$-\int_{\Omega}\alpha(u_1,u_2)vDv \,dx \leq \int_{\Omega}\alpha^2(u_1,u_2)v^2 \, dx + \int_{\Omega}|Dv|^2 \, dx$$ Combinando todo esto se obtiene $$E'(t) \leq -2\int_{\Omega}|Dv|^2 \, dx + 2\int_{\Omega}alpha^2(u_1,u_2)v^2 \, dx + 2\int_{\Omega}|Dv|^2 \, dx - \int_{\Omega}\beta(u_1,u_2)v^2 \,dx$$ $$= 2\int_{\Omega}(\alpha(u_1,u_2)^2 - \beta(u_1,u_2))v^2 \, dx$$ La continuidad implica que $\alpha(u_1,u_2)^2 - \beta(u_1,u_2)$ está acotado en $\overline{\Omega}$ . De ello se desprende que $E'(t) \leq M E(t)$ para algunos $M > 0$ . Además, $E(0) = 0$ desde $v(0, x) = 0$ para todos $x \in \Omega$ . Aplicamos la desigualdad de Gronwall para obtener $v^2 \equiv 0$ . Por lo tanto, $v \equiv 0$ Así que $u_1 = u_2$ .