demostrar que esta función tiene imagen medible de Lebesgue

Question

Denota por $\lambda$ la medida estándar de Lebesgue.

Dejemos que $E$ sea un subconjunto medible por Lebesgue de $\mathbb{R}$ con $\lambda(E)<\infty$ .

Por un segmento inicial de $E$ nos referimos a un conjunto $E'\subseteq E$ Satisfaciendo a $E'<E\setminus E'$ (en el sentido de que $x<y$ para todos $x\in E'$ y $y\in E\setminus E'$ ). Obsérvese que los segmentos iniciales de $E$ debe tener siempre la forma $E\cap(-\infty,y)$ o $E\cap(-\infty,y]$ para algunos $y\in[-\infty,\infty]$ .

Se puede demostrar que para cada $t\in[0,\lambda(E)]$ existe un segmento inicial $E_t$ de $E$ con $\lambda(E_t)=t$ .

Definamos la función $m:E\to[0,\lambda(E)]$ por la regla $$m(x)=\inf\{t\in[0,\lambda(E)]:x\in E_t\}.$$

Conjetura 1. La imagen $m(E)$ es un conjunto medible por Lebesgue.

Discusión.

(i) Claramente, $m$ es que preserva el orden (es decir, no decreciente) en el sentido de que $x\leq y$ si y sólo si $m(x)\leq m(y)$ .

(ii) Se puede demostrar que $m$ es preservación de la medida en el siguiente sentido: Si $A\subseteq[0,\lambda(E)]$ es medible por Lebesgue, entonces $m^{-1}(A)$ también es medible por Lebesgue con $\lambda(A)=\lambda[m^{-1}(A)]$ .

(iii) Si $F\subseteq E$ y $m(F)$ es medible entonces $\lambda[m(F)]=\lambda(F)$ .

(iv) Existen claros contraejemplos que demuestran que $m$ no tiene por qué ser sobreyectiva. De hecho, $[0,\lambda(E)]\setminus m(E)$ puede ser incluso incontable.

Siento seguir haciendo tantas preguntas similares. Sigo topándome con estos hechos técnicos, aparentemente obvios, que se resisten a una prueba sencilla (que yo pueda encontrar, al menos).

Answer 1

Podemos demostrar que, para cualquier $x \in E$ , $m(x) = \lambda((-\infty,x] \cap E))$ . Prueba: Para cualquier $x \in E$ y cualquier segmento inicial $E_t$ tal que $x \in E_t$ tenemos que $(-\infty,x] \cap E \subseteq E_t$ . Desde $(-\infty,x] \cap E$ es un segmento inicial, se deduce que $m(x) = \lambda((-\infty,x] \cap E))$ .

Ahora, define para todos $x \in \mathbb{R}$ , $M(x) = \lambda((-\infty,x] \cap E))$ . Está claro que $M$ extiende $m$ y que $M(E)=m(E)$ . Así que debemos demostrar que $M(E)$ es medible por Lebesgue.

Tenga en cuenta que, dado cualquier $x, y \in \mathbb{R}$ Supongamos, sin pérdida de generalidad, que $y\geqslant x$ por lo que tenemos: $$ |M(y)-M(x)| = M(y)-M(x) = \lambda((x,y] \cap E))\leqslant y-x=|y-x|$$

Así que $M$ es una función Lipschitz. Así que la imagen por $M$ de cualquier conjunto medible de Lebesgue es medible de Lebesgue. Así que $M(E)$ es medible por Lebesgue.

Con más detalle: Como la medida de Lebesgue es regular interna, existe un conjunto $N$ de medida cero y una secuencia de conjuntos compactos $\{K_n\}_{n\ge 1}$ , de tal manera que $$E=N\cup(\cup_{n=1}^\infty K_n)$$ Dado que la medida de Lebesgue es exteriormente regular y $M$ es una función Lipschitz, $M(N)$ tiene medida cero. Como $M$ es continua, $M(K_n)$ es compacto para cada $n\ge 1$ . Por lo tanto, $$M(E)=M(N)\cup\big(\cup_{n=1}^\infty M(K_n)\big)$$ es medible por Lebesgue.