Teorema. Deje $\mathcal{K}\subseteq 2^{X}$ un conjunto de la familia tal que $\emptyset \in\mathcal{K}$ y será dado a una aplicación $\nu\colon\mathcal{K}\to[0,+\infty]$ tal que $\nu(\emptyset)=0$, definimos $$\mu^*(E)=\inf\left\{\sum_{n\in\mathbb{N}}\nu(I_n)\;\middle|\;E\subseteq\bigcup_{n\in\mathbb{N}}I_n\;\text{and}\;\{I_n\}_{n\in\mathbb{N}}\subseteq\mathcal{K}\right\},$$ a continuación, $\mu^*$ es una medida exterior.
Prueba.(Con el Teorema de Fubini) Podemos demostrar que $\mu^*$ es $\sigma$-subadditive, el resto de propiedades son triviales. Deje $\{E_n\}_{n\in\mathbb{N}}\subseteq 2^{X}$ una contables conjunto de la familia. Suponemos que a $\mu^*(E_n)<+\infty$ para todos los $n\in\mathbb{N}$, que es para todos los $n\in\mathbb{N}$ existe $\{I_{n,k}\}_{k\in\mathbb{N}}\subseteq \mathcal{K}$ tal que $E_n\subseteq\bigcup_{k\in\mathbb{N}}I_{n,k}$.
Se fija $\varepsilon> 0$. Por lo que se ha dicho anteriormente y por las propiedades de la infimum, para todos los $n\in\mathbb{N}$ existe $\{I_{n,k}\}\subseteq\mathcal{K}$ tal que $$E_n\subseteq\bigcup_{k\in\mathbb{N}}I_{n,k}\quad\text{and}\quad\mu^*(E_n)+\frac{\varepsilon}{2^n}>\sum_{k\in\mathbb{N}}\nu(I_{n,k}).$$ Observamos que $$\bigcup_{n\in\mathbb{N}}E_n\subseteq\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\bigcup_{k\in\mathbb{N}}I_{n,k}=\bigcup_{(n,k)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}}I_{n,k}\quad\text{and}\quad\{I_{n,k}\}_{n,k\in\mathbb{N}}\subseteq\mathcal{K}.$$ At this point, in order to apply the definition of $\mu^*$, it is necessary to specify that it is equivalent to $$\mu^*(E)=\inf\left\{\sum_{(n,k)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}}\nu(I_{n,k})\;\middle|\;E\subseteq\bigcup_{(n,k)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}}I_{n,k}\;\text{and}\;\{I_{n,k}\}_{(n,k)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}}\subseteq\mathcal{K}\right\}.$$ In general, what is important is that the set $E$ can be covered by a family $\{I_\gamma\}_{\gamma\in\Gamma}\subseteq\mathcal{K}$, where $\Gamma$ is a countable set of indices. By definition of $\mu^*$ tenemos \begin{equation} \mu^*\bigg(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}E_n\bigg)\le\sum_{(n,k)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}}\nu(I_{n,k})\color{BLUE}{=}\sum_{n\in\mathbb{N}}\sum_{k\in\mathbb{N}}\nu(I_{n,k})<\sum_{n\in\mathbb{N}}\bigg[\nu(I_{n,k})+\frac{\varepsilon}{2^n}\bigg]=\sum_{n\in\mathbb{N}}\mu^*(E_n)+\varepsilon, \end{equation} donde el azul igual a la del Teorema de Fubini.$\hspace{9cm}\square$
Prueba.(Sin el Teorema de Fubini) Deje $\{E_n\}_{n\in\mathbb{N}}\subseteq 2^{X}$ una contables conjunto de la familia. Suponemos que a $\mu^*(E_n)<+\infty$ para todos los $n\in\mathbb{N}$, que es para todos los $n\in\mathbb{N}$ existe $\{I_{nk}\}_{k\in\mathbb{N}}\subseteq \mathcal{K}$ tal que $E_n\subseteq\bigcup_{k\in\mathbb{N}}I_{nk}$.
Se fija $\varepsilon> 0$. Por lo que se ha dicho anteriormente y por las propiedades de la infimum, para todos los $n\in\mathbb{N}$ existe $\{I_{nk}\}\subseteq\mathcal{K}$ tales que $$E_n\subseteq\bigcup_{k\in\mathbb{N}}I_{nk}\quad\text{and}\quad\mu^*(E_n)+\frac{\varepsilon}{2^n}>\sum_{k\in\mathbb{N}}\nu(I_{nk}).$$ Let $f\colon\mathbb{N}\to\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ be a bijection and we place $I_{n,k}:=I_{nk}$ for all $(n,k)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}$. We consider the sequence $\{I_{f(r)}\}_{r\in\mathbb{N}}$. We prove that $\{I_{f(r)}\}_{r\in\mathbb{N}}\subseteq\mathcal{K}$ and that is a covering of $\bigcup_{n\in\mathbb{N}} E_n$.We observe that $$\bigcup_{r\in\mathbb{N}}I_{f(r)}= \bigcup_{(n,k)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}}I_{nk}=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\bigg[\bigcup_{k\in\mathbb{N}}I_{nk}\bigg]\supseteq\bigcup_{n\in\mathbb{N}}E_n.$$ By definition of $\mu^*$ we have $$\mu^*\bigg(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}E_n\bigg)\le\sum_{r\in\mathbb{N}}\nu(I_{f(r)}).$$ Now we place $$f(r):=(n_r,k_r)\quad\text{and}\quad K_r=\max\{k_1,\dots, k_r\},$$ y consideramos que la suma parcial s-th. Por lo tanto \begin{equation} \begin{split} \sum_{r=1}^s \nu(I_{f(r)})=&\nu(I_{f(1)})+\cdots+\nu(I_{f(s)})\\ =&\nu(I_{n_1k_1})+\cdots+\nu(I_{n_sk_s})\quad\text{We remember that}\quad I_{nk}:=I_{n,k}\\ \color{RED}{\le}& \sum_{n=1}^{K_r}\color{BLUE}{\sum_{k\in\mathbb{N}}\nu(I_{nk})}\\ <&\sum_{n=1}^{K_r}\bigg[\mu^*(E_n)+\frac{\varepsilon}{2^n}\bigg]\\ <&\sum_{n\in\mathbb{N}}\bigg[\mu^*(E_n)+\frac{\varepsilon}{2^n}\bigg]\\ =&\sum_{n\in\mathbb{N}}\mu^*(E_n)+\varepsilon. \end{split} \end{equation} Para $\varepsilon\to 0$ tenemos $$\sum_{r=1}^s \nu(I_{f(r)})\le\sum_{n\in\mathbb{N}}\mu^*(E_n).$$
Pregunta 1. ¿Por qué la desigualdad en rojo verdad?
$$$$
Pregunta 2. Podría ser que algunos azul de la serie es divergente?
$$$$
Por lo tanto, $$\sum_{r\in\mathbb{N}}\nu(I_{f(r)}):=\lim_{s\to+\infty}\sum_{r=1}^s \nu(I_{f(r)})\color{BLUE}{\le}\sum_{n\in\mathbb{N}}\mu^*(E_n)$$
Pregunta 3. ¿Por qué la desigualdad en azul verdad? En general si $\{a_n\}$ e $\{b_n\}$ son los dos reales número de secuencia tal que $\lim a_n=a\in\mathbb{R}$ e $\lim b_n=b\in\mathbb{R}$, entonces si $a_n\le b_n$ para todos los $n\in\mathbb{N}$, a continuación, $a<b$. Es este el caso? Es decir, la serie de $\sum_{n\in\mathbb{N}}\mu^*(E_n)$ es convergente?
Gracias por su paciencia!
