Encuentra$x$ tal que$(x^2 + 4x + 3)^x + (2x + 4)^x = (x^2 + 4x + 5)^x$

Question

Encontrar todos los $x \in (-1, +\infty)$ tal que $(x^2 + 4x + 3)^x + (2x + 4)^x = (x^2 + 4x + 5)^x$.

Lo que he hecho hasta ahora era una substitución $y = x + 2$ que se traduce en una mejor forma de la ecuación:

$(y - 1)^{y - 2}(y + 1)^{y - 2} + 2^{y - 2}y^{y - 2} = (y^2 + 1)^{y - 2}$ e $y > 1$, que puede ser reescrita como: $$ \left( \frac{y^2 + 1}{2y} \right)^{y - 2} - \left( \frac{y^2 - 1}{2y} \right)^{y - 2} = 1 $$ También, mi intuición es que $y = 4$ es la única solución y en un principio yo quería demostrar que esta función de $y$ es inyectiva, pero no funcionó tampoco.

¿Tiene alguna sugerencia sobre cómo puedo seguir?

Answer 1

Sugerencia:

$$(x^2+4x+5)^2-(x^2+4x+3)^2=2(2x^2+8x+8)=(2x+4)^2$$

$$\iff1=\left(\dfrac{2x+4}{x^2+4x+5}\right)^2+\left(\dfrac{x^2+4x+3}{x^2+4x+5}\right)^2$$

Tenemos $$\left(\dfrac{2x+4}{x^2+4x+5}\right)^x+\left(\dfrac{x^2+4x+3}{x^2+4x+5}\right)^x=1$$

WLOG $\dfrac{2x+4}{x^2+4x+5}=\cos t,\dfrac{x^2+4x+3}{x^2+4x+5}=\sin t$ con $0<t<\dfrac\pi2$ para $-1<x<\infty$

Claramente, $$(\cos t)^x+(\sin t)^x$$ es una función decreciente de prohibir múltiples soluciones

Generalización : $$\left(\dfrac{2x+4}{x^2+4x+5}\right)^y+\left(\dfrac{x^2+4x+3}{x^2+4x+5}\right)^y=1$$

$\implies y=2$