Tengo una matriz de $U \in U(n)$ ($U^* U=Id$), con autovalores $\lambda_1, \dots \lambda_n \in S^1$. Me gustaría saber si siempre es posible encontrar una matriz de $O \in O(n)$ tal que los autovalores $\lambda^{'}_1, \dots, \lambda^{'}_n$ de $UO \in U(n)$ puede ser escrita como: $$\lambda^{'}_j=e^{i \pi \alpha_j}$$ Donde $\alpha_j \in [0,1)$.
No es un caso fácil. Si $U$ es una matriz diagonal y $J \subset \{1, \dots , n \}$ es el subconjunto tal que para $j \in J$ tenemos $\lambda_j=x_j + iy_j$ con $x,y \in \mathbb{R}$ e $(y<0 \vee x=-1)$. A continuación, la elección de:
$$\{O\}_{mn}=\begin{cases}
0 & m\ne n \\
-1 & m=n\in J \\
1 & else
\end{casos}$$
Esto va a definir una matriz ortogonal y $UO$ va a ser como desee.
El problema es que cuando $U$ no es una matriz diagonal de la matriz $S=P^*OP$ para $P \in U(n)$ e $O \in O(n)$ no es generalmente una matriz ortogonal así que no hay ningún algoritmo simple y tan lejos como puedo ver para encontrar $O \in O(n)$
