¿Cómo puede uno obtener el tensor métrico numéricamente?

Question

Soy auto-estudio de la Relatividad General.

Hay un método para la obtención de la métrica tensor exterior a una determinada distribución de la masa numéricamente? En el caso más simple de una masa esférica que este debe producir la Schwarzschild exterior de la geometría. Estoy principalmente interesado en tales casos, sin campos de radiación (el más simple, mejor).

Me doy cuenta de que hay una ambigüedad en el sistema de coordenadas elegido, probablemente si tales métodos numéricos se incluyen una especificación del sistema de coordenadas.

Mi google-fu ha sido incapaz de encontrar una respuesta simple a esta pregunta. Las introducciones al tema de la numéricas GR que he encontrado son densos, carece de ejemplos sencillos (si tales cosas existen), y se centran sobre las ondas gravitacionales. Me doy cuenta de que la solución de un sistema de no-lineales acoplados de ecuaciones en derivadas parciales no es, en general, una tarea sencilla. He encontrado un montón de literatura hablando de la llamada (3+1) método de foliating el espacio-tiempo con el espacio 3D hypersurfaces, pero no mucho, en el sentido explícito de 'a partir de estas inicial/condiciones de contorno y el sistema de coordenadas, resolver estas ecuaciones utilizando el método x para obtener el tensor métrico, aquí está el código para el ejemplo simple de una masa esférica'.

Así que, básicamente: es posible comenzar con una densidad de masa de la función y obtener una solución numérica/aproximación a la métrica tensor exterior de esto, en algunos sistema de coordenadas, y si es así, ¿cómo?

Si la respuesta a mi pregunta es 'no' o 'eres malentendido algo" doy la bienvenida a ser corregido.

Answer 1

$\def\bg{\mathbf g} \def\bu{\mathbf u} \def\bT{\mathbf T}$ El mío no es propiamente una respuesta. En un sentido es otra cuestión, pero yo también creo que voy a localizar a una profunda dificultad anterior comentarios (y también los otros enlaces dada por @KyleKanos) no dirección.

En realidad nunca he intentado numérico GR. Me enseñó GR para varios años, pero más allá de las habituales soluciones exactas sólo me mostró problemas con simetría esférica (por ejemplo, polvo de estrellas colapso) donde la dificultad He vivido en mente tenía una solución clara.

Aquí es a lo que me refiero. Supongamos que quiero estudiar un colapso general, con no hay simetría supone a priori. Tengo algún asunto, y tiene que la caracterizan de alguna manera. Piense en el caso más simple, un fluido perfecto. A continuación, $\bT$ es conocido: $$\bT = (\rho + p)\,\bu \otimes \bu - p\,\bg \tag1$$ ($\bu$ es de 4-velocidad). Por supuesto eq. (1) sostiene, donde la materia está presente, mientras que el $\bT=0$ en el espacio vacío a su alrededor. Yo también puede asumir que el espacio-tiempo es asintóticamente Minkowskian.

Y ahora? Voy a comparar el actual problema con un clásico de correo.m. problema. Allí las incógnitas puede ser (por ejemplo,) $A^\mu$, cuatro escalares funciones de cuatro coordenadas. Con frecuencia la densidad de corriente y de cargo, se toma como conocido (de lo contrario las cosas se ponen considerablemente complicado.). Pero, sobre todo, el espacio-tiempo a la estructura y la elección de las coordenadas espacio-tiempo está en mi discreción.

En el caso de GR no es así, el espacio-tiempo en sí mismo es el desconocido. El mismo es cierto para $\rho$ e $p$ como funciones de tiempo de los puntos. Así Que Me no sé cómo elegir las coordenadas. Hay otras dificultades que yo tuve que dejar de lado por razones de brevedad.

Eso es ustedes. Tal vez alguien me dirá que el problema es bien conocido (no hay duda de que) y la solución es ... espero aprender acerca de él.