Curvatura de la curva: equivalencia entre las definiciones de ángulo y vector tangente

Question

Sé que la curvatura para algunos curva de $C$ definida en forma paramétrica es:

$$\kappa=\left\|{d\vec{T}\over ds}\right\|$$

Que básicamente es la tasa a la cual el vector tangente a la curva de cambios, como la arclength de los cambios en la curva.

En otra fuente, vi a la definición de la curvatura como la siguiente:

Si $P_1$ e $P_2$ son dos puntos de la curva, $|P_1P_2|$ es el arclength entre esos dos puntos, y $\Phi$ es el límite del ángulo entre los vectores de tangentes en los puntos de $P_1$ e $P_2$ (como se va a cero, supongo), entonces la curvatura se define como:

$$\kappa=\lim_{|P_1P_2|\to 0}{\Phi\over |P_1P_2|}$$

Lo que básicamente significa, la tasa a la cual el ángulo de la tangente vectores en el marco global de los cambios de referencia, como el arclength de los cambios en la curva.

Supongo que esta segunda definición se puede expresar con la notación del primer ejemplo como:

$$\kappa={d\phi\over ds}$$

Donde $\phi$ es el ángulo entre el vector tangente a la curva, y algunas constantes globales eje de referencia (que podría ser el eje x, pero realmente podría ser cualquier línea o vector en el mismo plano).

Dado que el segundo (raro en mi opinión) la definición de la curvatura, yo no puedo ver cómo esas dos definiciones pueden ser equivalentes. Tal vez no, no sé. Puede ser que son; si sí, ¿cómo?

También, aquí está una foto de la sección del libro donde la segunda definición que aparece en (no en inglés):

Tenga en cuenta que el texto está de acuerdo con otra definición de la curvatura, que soy consciente de: $\kappa=\frac1r$, donde $r$ es el radio de curvatura.

Answer 1

Vamos a trabajar con la primera definición. Tenemos \begin{align} \kappa (s) &= \left\| \frac{d\vec T}{ds}(s)\right\| \\ &= \lim_{\delta s\to 0}\frac 1 {\delta s}\left\| \vec T(s + \delta s) - \vec T(s) \right\| \\ &= \lim_{\delta s \to 0} \frac 1 {\delta s} \sqrt{(\vec T(s + \delta s) - \vec T(s)).(\vec T(s + \delta s) - \vec T(s))} \\ &= \lim_{\delta s \to 0} \frac 1 {\delta s} \sqrt{\| \vec T(s + \delta s)\|^2 + \| \vec T(s) \|^2 - 2\vec T(s).\vec T(s + \delta s)}\end{align} Pero la curva programable por longitud de arco! Así $$ \| \vec T(s + \delta s)\|^2 = \| \vec T(s)\|^2 = 1$$ y $$ \vec T(s).\vec T(s + \delta s) = \cos \Phi(s, s + \delta s),$$ donde $\Phi(s, s + \delta s)$ es el ángulo entre el $\vec T(s)$ e $\vec T(s + \delta s)$.

Conectando en, obtenemos \begin{align} \kappa &= \lim_{\delta s \to 0} \frac 1 {\delta s} \sqrt{2 - 2 \cos \Phi(s, s + \delta s)} \\ &= \lim_{\delta s \to 0} \frac 1 {\delta s} 2 \sin \left( \frac { \Phi(s, s + \delta s) } {2}\right) \\ &= \lim_{\delta s \to 0} \frac {\Phi(s, s + \delta s)} {\delta s} \times \frac{\sin \left( \frac { \Phi(s, s + \delta s) } {2}\right)}{\frac{\Phi(s, s + \delta s)}{2}} \end{align} Claramente, $\lim_{\delta s \to 0} \Phi(s, s + \delta s) = 0$, por lo que \begin{align} \kappa &= \lim_{\delta s \to 0} \frac {\Phi(s, s + \delta s)} {\delta s} \times \lim_{\Phi \to 0} \frac{\sin \left( \frac { \Phi } {2}\right)}{\frac{\Phi}{2}} \\ &= \lim_{\delta s \to 0} \frac {\Phi(s, s + \delta s)} {\delta s} \times 1 \\ &= \lim_{\delta s \to 0} \frac {\Phi(s, s + \delta s)} {\delta s}\end{align} lo cual está de acuerdo con la segunda definición.

Answer 2

Por su primera declaración, $T'(s)=\kappa(s)N(s)$ donde $\kappa$ es la curvatura y $N$ es la unidad vector normal. Ahora, consideremos $T(s)$ e $T(s+\Delta s)$, de modo que podemos comparar los ángulos entre los vectores de tangentes. Ahora, $T(s)$, $T(s+\Delta s)$, e $N(s)$ son todos los de la unidad de vectores, por lo que se puede dibujar el siguiente cuadro que representa todos estos vectores:

Aquí, $\Delta \theta$ es el ángulo entre los dos vectores tangente y $\Delta T=T(s+\Delta s)-T(s)$. En el diagrama, podemos encontrar que $\Delta T\cdot T(s)=1-\cos \Delta \theta$ e $\Delta T\cdot N(s)=\sin d\theta$. A partir de la componente x, obtenemos la siguiente ecuación:

$$\frac{dT}{d\theta}\cdot T(s)=\lim_{\Delta \theta\rightarrow 0}\frac{\Delta T\cdot T(s)}{\Delta \theta}=\lim_{\Delta \theta\rightarrow 0}\frac{1-\cos(\Delta \theta)}{\Delta \theta}=0$$

Esto era bastante obvio desde $T'(s)=\kappa(s)N(s)$ es ortogonal a $T(s)$, así que nada nuevo. Sin embargo, a partir de la y-componente, se obtiene:

$$\frac{dT}{d\theta}\cdot N(s)=\lim_{\Delta \theta\rightarrow 0}\frac{\Delta T\cdot N(s)}{\Delta \theta}=\lim_{\Delta \theta\rightarrow 0}\frac{\sin(\Delta \theta)}{\Delta \theta}=1$$

Ahora, vamos a usar la regla de la cadena para averiguar lo $\frac{dT}{d\theta}$ es:

$$\frac{dT}{ds}=\kappa(s)N(s)=\frac{dT}{d\theta}\frac{d\theta}{ds} \rightarrow \frac{dT}{d\theta}=\frac{\kappa(s)N(s)}{\frac{d\theta}{ds}}$$

Por último, vamos a conectar este valor de $\frac{dT}{d\theta}$ en la ecuación con el producto escalar:

$$\frac{dT}{d\theta}\cdot N(s)=1\rightarrow \frac{\kappa(s)N(s)\cdot N(s)}{\frac{d\theta}{ds}}=1\rightarrow \frac{d\theta}{ds}=\kappa(s)N(s)\cdot N(s)=\kappa(s)$$

(Tenga en cuenta que el último paso se utiliza $N(s)\cdot N(s)=1$ desde $N(s)$ es un vector unitario.)

En este punto, hemos mostrado $\frac{d\theta}{ds}=\kappa(s)$, que es lo que originalmente se dispuso a probar. Q. E. D.

Por supuesto, esto no es exactamente una prueba formal, ya que se supone $T(s+\Delta s)$ es en el plano generado por $T(s)$ e $N(s)$, que no es necesariamente cierto. Sin embargo, creo que esta es una buena aproximación desde $T'(s)=\kappa(s)N(s)$, lo $T(s+\Delta s)\approx T(s)+\Delta sT'(s)=T(s)+[\Delta s\kappa(s)]N(s)$. En cualquier caso, siento que esta geométricas argumento da una mejor visual de la intuición de por qué $|T'(s)|=\frac{d\theta}{ds}$.