Considerar la descomposición en factores primos de los números de $14$ e $15$ :
$$14 = 2 \cdot 7 \implies \tau(14) = 2 \cdot 2 = 4 \space ;\space \sigma(14) = 3 \cdot 8 = 24$$ $$15=3 \cdot 5 \implies \tau(15) = 2 \cdot 2 = 4 \space ;\space \sigma(15) = 4 \cdot 6 = 24$$ Por lo tanto, podemos observar que a lo $\tau(14) = \tau(15)$ e $\sigma(14) = \sigma(15)$ . Aquí, $\tau(x)$ es el número de divisores positivos de $x$ e $\sigma(x)$ es la suma de los divisores positivos de $x$.
Hay muchos ejemplos como el de $\{14,15\}$ que muestran las propiedades antes mencionadas. Otro ejemplo es $\{33,35\}$ e $\{46,51,55\}$. Más que pares o triples, podemos tener incluso más grandes conjuntos. El más pequeño sextuplet (conjunto de seis números enteros positivos) es $\{282,310,322,345,357,385\}$.
Podemos ver que como $\{14,15\}$ tienen su unión de factores primos como $\{2,3,5,7\}$ y desde el $\tau$ e $\sigma$ funciones son funciones multiplicativas, podemos tomar cualquier entero positivo $k$ tal que $\gcd(k,210) = 1$ y, a continuación, la familia de soluciones de $\{14k,15k\}$ satisfaga las propiedades. Por lo tanto, hay un número infinito de pares de enteros positivos distintos con igual número de divisores y la igualdad de la suma de los divisores.
Sin embargo, la cuestión se pone más interesante si nos preguntamos si los hay infinitamente muchas de esas parejas con relativamente primos números enteros positivos, es decir, si hay infinitamente muchas de esas familias de soluciones.
El 'relativamente primer parte es eliminado a untrivialize el problema. Podríamos sin embargo mira desde un ángulo diferente. El problema sólo es trivial si pudiéramos multiplicar la igualdad de potencias de números primos $p$. Por lo tanto, también podemos preguntarnos si existen infinitos pares de números enteros positivos $\{a,b\}$ tal que $\tau(a) = \tau(b)$ e $\sigma(a) = \sigma(b)$, con la condición, que no prime $p$, $\nu_p(a) = \nu_p(b) \neq 0$.
Este problema está profundamente relacionada con las conjeturas como la de Dickson conjetura y Schinzel de la Hipótesis. Sin embargo, es mucho más débil que tales problemas. Sin embargo, cuando nos concentramos en ciertos casos, por ejemplo, $\tau(a)=\tau(b)=4$ donde $a,b$ son ambos productos de dos números primos, obtenemos los números primos $p,q,r,s$: $$(p+1)(q+1) = (r+1)(s+1)$$ A través de la fijación $s=7$ e $q=3$ por ejemplo , obtenemos $p+1 = 2r+2$ lo que da que para los números primos $p,r$ ; tenemos $p=2r+1$. Por lo tanto, llegamos a la Sophie Germain problema. Nuestro problema es resuelto directamente por la resolución de cualquiera de tales casos individuales de Dickson de la conjetura.
Aproximadamente la mitad de los números primos $0.5$ probabilidad de ser $1 \pmod{4}$ e $0.5$ probabilidad de ser $3 \pmod{4}$. Así, se espera que $8 \mid (p+1)(q+1)$. Del mismo modo, los números primos aproximadamente ha $0.5$ probabilidad de ser $1 \pmod{3}$ e $0.5$ probabilidad de ser $2 \pmod{3}$. Así, se espera que $3 \mid (p+1)(q+1)$. Por lo tanto, es mejor buscar $(p+1)(q+1) = (r+1)(s+1) = 24k$.
Se puede apreciar muy claramente que incluso en tales casos pequeñas del problema son propensos a generar una infinidad de soluciones, como el de arriba. Por lo tanto, parece más probable que la respuesta a esta pregunta es afirmativa.
Podemos ampliar nuestro problema no sólo de parejas, pero a los conjuntos de enteros positivos distintos de tamaño $n$. También podemos extender nuestro problema preguntando si hay arbitrariamente grandes conjuntos de enteros positivos distintos con igual número de divisores y la igualdad de la suma de los divisores. Esto parece probable que en el ejemplo de la sextuplet. Esto también se sigue directamente de la de pleno derecho de la versión de Dickson de la conjetura. Finalmente, esta es una versión más fuerte de nuestra pregunta anterior ya no podemos tener infinidad de finito de enteros positivos en un conjunto, como habrían finito valor de $\sigma(x) \geqslant x$, que estaría obligado el tamaño del conjunto.
Cualquier sugerencia y el progreso sería aceptado. Por favor, compartir ideas/comentarios en los comentarios. Las Ideas pueden ser compartidas en cualquiera de los problemas anteriores.
