Intuición del por qué $f_{xy} = f_{yx}$

Question

Si tenemos una función $f(x,y)$ ¿Por qué es que $f_{xy} = f_{yx}$ ? Busco una razón intuitiva y cualitativa más que una prueba rigurosa.

$f_{yx}$ representa la tasa de cambio del gradiente paralelo a la $x$ eje, al desplazarse por el $y$ eje. De la misma manera, $f_{xy}$ representa la tasa de cambio del gradiente paralelo a la $y$ eje, al desplazarse por el $x$ eje. Al menos, así lo entiendo yo. Sin embargo, no veo ninguna razón para que ambos sean iguales.

Answer 1

La intuición no puede decir por qué son igual . Para eso es demasiado vago. Pero podemos ver que miden lo mismo.

Veamos el origen específicamente, para hacerlo más fácil. Además, digamos que el valor de la función y las primeras derivadas en el origen son todas $0$ .

Primero vemos lo que $f_{xy}$ (derivada primero con respecto a $x$ entonces con respecto a $y$ ). Para cada plano normal al $y$ -existe una línea que se encuentra completamente en ese plano y que es tangente a la gráfica de la función para $x=0$ . A medida que avanzamos por el $y$ -eje, $f_x$ mide la pendiente de esta línea, y $f_{xy}$ mide la velocidad de rotación de esta línea. En el origen, nuestras suposiciones dicen que esta línea es la $x$ -eje.

Si piensas lo suficiente en esto, te darás cuenta de que una función arquetípica con $f_{xy}(0,0)$ (algo así como $f(x,y)=xy$ , específicamente algo con $f=f_x=f_y=0$ en el origen) será, cerca del origen, positivo en el primer y tercer cuadrante y negativo en el segundo y cuarto.

Ahora bien, obsérvese que esto será, en la misma interpretación, exactamente lo que hace $f_{yx}(0,0)$ positivo también.

Depende de ti si quieres aventurarte fuera de la tierra de $f=f_x=f_y=0$ en el origen, y ver cuál es el resultado. La diferencia es básicamente añadir una función $g(x,y)=ax^2+by^2+cx+dy+e$ a $f$ que, con suerte, puedes ver que no cambia $f_{xy}$ y $f_{yx}$ .

Answer 2

Una forma de pensar en esto es que para las funciones agradables (en este caso dos veces diferenciables) sólo hay que considerar $f$ hasta el segundo orden, los términos de orden superior no tienen ningún impacto en las segundas derivadas.

Así que sólo hay que comprobar esto para las funciones cuadráticas generales $f(x, y) = a x^2 + b y^2 + c x y + d x + e y + g$ . En este caso se ve casi inmediatamente $f_{xy} = f_{yx} = c$ .

Answer 3

Como se señala en los comentarios, esto no siempre es cierto y el primer contraejemplo que se dio fue de alguna manera un choque en el mundo matemático. Hay que buscar el teorema de Schwarz para esto. Sin embargo, creo que la forma de pensar en ello es simplemente decir que si una función tiene muchas derivadas, entonces se tiene algún tipo de regularidad alrededor de un punto. Su derivada $f_x$ o $f_y$ está restringido en la tasa de crecimiento de tal manera que no importa en qué dirección x o y se acerque a un punto, siempre es de una manera suave.

Answer 4

$$\begin{align} f_{xy}&\approx\frac{\frac{\Delta f_2}{\Delta x}-\frac{\Delta f_1}{\Delta x}}{\Delta y} \\ &= \frac{\Delta f_2 - \Delta f_1}{\Delta x \Delta y} \\ f_{yx}&\approx\frac{\frac{\Delta f_3}{\Delta y}-\frac{\Delta f_4}{\Delta y}}{\Delta x} \\ &= \frac{\Delta f_3 - \Delta f_4}{\Delta x \Delta y} \\ \Delta f_2 + \Delta f_4 &= \Delta f_3 + \Delta f_1 \\ \therefore f_{xy}&=f_{yx} \end{align}$$

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Nota: . Tenga en cuenta que esto sólo funciona con $C^2$ funciones.

Answer 5

Puedes pensarlo así:

Una función $f(x,y)$ puede tener términos que impliquen sólo $x$ , términos que sólo implican $y$ o términos mixtos, en los que intervienen ambas variables.

Podemos analizar estos tres casos por separado:

Términos que implican sólo $y$ :

Si la derivada con respecto a $y$ se toma primero, el término cambia a la derivada de ese término con respecto a $y$ .

Pero poco después, la derivada con respecto a $x$ y como el término es constante con respecto a $x$ el término completo se desvanecerá.

Si tomamos la derivada con respecto a $x$ primero, todo el término se desvanecerá también.

Términos que implican sólo $x$ :

Lo mismo que con los términos que implican sólo $y$ .

Términos que implican ambas variables

Aquí, cualquiera que sea la derivada que se tome con respecto a, ésta se modificará. Sin embargo, la otra variable será tratada como constante, y por lo tanto, conservada al segundo aparato de la derivada. Así que, en otras palabras, la $x$ y $y$ partes del mismo término serán algo así como las derivadas con respecto a las variables opuestas, lo que significa que si la derivada no viene por eso $x$ parte del plazo, esa parte se conservará, y la derivada vendrá a buscarla de todos modos.