Error al resolver una ecuación que involucra una raíz cuadrada

Question

Quiero resolver $2x = \sqrt{x+3}$ , que he intentado de la siguiente manera:

$$ \begin{equation} 4x^2 - x -3 = 0 \\ x^2 - \frac14 x - \frac34 = 0 \\ x^2 - \frac14x = \frac34 \\ \left(x - \frac12 \right)^2 = 1 \\ x = \frac32 , -\frac12 \end {equation} $$

Esto, sin embargo, es incorrecto.

¿Qué está mal con mi solución?

Answer 1

Usted cometió un error al completar el cuadrado.

$$x^2-\frac{1}{4}x = \frac{3}{4} \color{red}{\implies\left(x-\frac{1}{2}\right)^2 = 1}$$

Esto es muy fácil de encontrar desde $(a\pm b)^2 = a^2\pm2ab+b^2$, lo que significa que el coeficiente del término lineal se convierte en $-2\left(\frac{1}{2}\right) = -1 \color{red}{\neq -\frac{1}{4}}$. Esto significa que algo no es correcto...

Observe que la ecuación se reescribe tal que $a = 1$, por lo que necesita para agregar $\left(\frac{b}{2}\right)^2$ a ambos lados y factor. (En otras palabras, se divide el coeficiente del término lineal $x$ por $2$ y cuadrado el resultado, que será añadido a ambos lados.)

$$b = -\frac{1}{4} \implies \left(\frac{b}{2}\right)^2 \implies \frac{1}{64}$$

Que obtiene

$$x^2-\frac{1}{4}x+\color{blue}{\frac{1}{64}} = \frac{3}{4}+\color{blue}{\frac{1}{64}}$$

Factorizando el trinomio cuadrado perfecto rendimientos

$$\left(x-\frac{1}{8}\right)^2 = \frac{49}{64}$$

Y usted probablemente puede tomar desde aquí.

Edit: Como se ha observado en las otras respuestas (debe haber aclarado esto así), el cuadrado se introduce la posibilidad de soluciones extrañas, así que siempre verifique sus soluciones mediante la conexión de los valores obtenidos en la ecuación original. Elevando al cuadrado, se está resolviendo

$$4x^2 = x+3$$

que en realidad es

$$2x = \color{blue}{\pm}\sqrt{x+3}$$

por lo que su negativa de solución de satisfacer esta nueva ecuación, pero no la original, ya que uno es

$$2x = \sqrt{x+3}$$

con el no $\pm$.

Answer 2

De

$$x^2-\frac{1}{4}x=\frac{3}{4}$$ to $$\left(x-\frac{1}{2} \right)^2=1$$ usted no ha completado la plaza correctamente.

Que lugar debe

$$\left(x-\frac{1}{8} \right)^2-\frac{1}{64}=\frac{3}{4}$$

Además, por favor tenga en cuenta que, si íbamos a continuar con su solución original como 'correcto', uno de sus soluciones, no en el hecho de no trabajar. Cuando nos originalmente cuadrado ambos lados tenemos, en un sentido, "modificado" la pregunta -- permitiendo a las soluciones negativas para $x$. Su solución original de $x=-\frac{1}{2}$ no satisface la ecuación original - debemos ser conscientes de que compruebe nuestras soluciones en estas situaciones.

Answer 3

Dos errores:

1) el error en la cumplimentación de la plaza. Recuerde, dividir el coeficiente de la $x$ plazo por dos, no se multiplican. Usted debe obtuve: $(x-\frac 18)^2 = \frac 34 + \frac{1}{64}$.

2) al cuadrado, se corre el riesgo de la introducción de "redundante raíces". Esto es debido a que cuando se resuelve al cuadrado, realmente eres la resolución de $2x = \pm\sqrt{x+3}$. Así que ponga sus soluciones de vuelta a la original a ver que uno(s) satisface la ecuación original, y descartar el resto. Esto se aplica cada vez que elevamos ambos lados de una ecuación a cualquier poder.

Answer 4

$$ \begin{equation} 4x^2 - x -3 = 0 \\ (4x + 3)(x - 1) = 0 \\ x = -\frac34 , 1 \end {equation} $$

Answer 5

$\require{cancel}$ Detalles adicionales en $\color{blue}{blue}$ . Detalle importante en $\color{green}{green}$ . Errores en $\color{red}{\cancel{\text{canceled red}}}$ . Correcciones en $\color{purple}{purple}$ .

$ \begin{equation} \color{blue}{2x = \sqrt{x+3}}\color{green}{\ge 0}\\ \color{blue}{4x^2 = x+3}\color{green}{\text{!AND!} x\ge 0}\\ 4x^2 - x -3 = 0 \\ x^2 - \frac14 x - \frac34 = 0 \\ x^2 - \frac14x = \frac34 \\ \color{blue}{x^2 -2\cdot\frac 18=\frac 34}\\ \color{blue}{x^2 -2\cdot\frac 18 +(\frac 18)^2=\frac 34+\frac 1{64}}\\ \color{red}{\cancel{(x - \frac12 )^2 = 1}}\color{purple}{(x - \frac18)^2 = \frac {49}{64}} \\ \color{blue}{x-\frac 18=\pm \frac 78}\\ \color{red}{\cancel{x = \frac32 , -\frac12}}\color{purple}{x = 1 , -\frac34}\color{green}{\text{!AND!} x\ge 0}\\ \color{purple}{x = 1}\\ \end {equation} $