Demostrar que $|f(\frac{p}{q})|\geq \frac{1}{q^4}$ donde $p,q$ son números enteros

Question

Dejemos que $f(x)\equiv n_0x^4+n_1x^3+n_2x^2+n_3x+n_4=0$ donde $n_0,n_1,n_2,n_3,n_4$ son números enteros.Si $f(x)=0$ tiene dos raíces irracionales distintas cuyo producto es también irracional entonces demuestre que $|f(\frac{p}{q})|\geq \frac{1}{q^4}$ donde $p,q$ son números enteros.

En esta pregunta,he intentado aplicar el teorema de la raíz racional,pero no es aplicable.¿Cuál es la condición para que haya dos raíces irracionales?Por favor,ayúdame.

Answer 1

Esto es más un comentario que una respuesta.

Este es el comienzo de cómo Liouville construyó los primeros números trascendentales. La base de esta construcción es el siguiente teorema:

Para un polinomio $f(x) \in \mathbb{Z}[x]$ de grado $n$ , tenemos el siguiente resultado:

Si $p, q \in \mathbb{Z}, q \ne 0$ (suponer $q \ge 1$ , seguro) y $f(p/q) \ne 0$ , entonces $|f(p/q)| \ge 1/q^n $ .

Una buena prueba está aquí: http://deanlm.com/transcendental/construction_of_a_transcendental_number.pdf

Su problema es el caso $n=4$ .

A partir de esto se puede demostrar fácilmente demostrar que si $x$ es una raíz irracional de $f(x) \in \mathbb{Z}[x]$ de grado $n$ , entonces hay una constante $M$ definido en términos de de los coeficientes de $f(x)$ tal que $|\frac{p}{q}-x| \ge \frac{1}{Mq^n} $ .

Este teorema dice que un número algebraico irracional de grado $n$ no se puede aproximar demasiado bien por un número racional.

Lo que hizo Liouville fue construir un número $x$ que podría ser tan exactamente aproximado por una secuencia de números racionales que para cualquier $M$ , para todo lo suficientemente grande $n$ , hay $p, q \in \mathbb{Z}$ tal que $|\frac{p}{q}-x| < \frac{1}{Mq^n} $ .

Esto significa que $x$ no puede ser algebraico de cualquier grado y por lo tanto debe ser trascendental.

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