¿Es$det (A-A^T) = 0$ para una matriz$n \times n$? ($n$ impar)

Question

Tengo el siguiente problema: Tenemos una $n \times n$ matriz de donde $n$ es impar. Es $det (A-A^T) = 0$?

No sé si esto es cierto o no, conocí mientras trabajaba en el siguiente problema:

"Vamos a $A$ $n \times n$ matriz de donde $AA^T=I_n$. Demostrar que $tr A \leq n$ $n$ impar, $det (A^2-I_n)=0$." (Rumano Olimpiada, 2007). La desigualdad fue fácil, utilizando la conocida desigualdad de $tr(AB) \cdot tr(A^TB^T) \leq tr(AA^T) \cdot tr(BB^T)$. En el segundo momento pensé acerca de las siguientes relaciones: $(A-I_n)(A^T+I_n)=A-A^T$ y $(A+I_n)(A^T-I_n)=A^T-A$.

Así que tenemos que $det (A^2-I_n) \cdot det((A^T)^2-I_n)=-(det(A-A^T))^2$ y si lo que digo es cierto, que el problema es un paso más cerca de ser resuelto. Para $n=1$ $n=3$ es cierto.

Answer 1

$B=A-A^T$ es asimétrico, así que$$\det(B) = \det(B^T) = \det(-B) = (-1)^n \det(B) = -\det(B)$ $