¿Cómo encontrarías las raíces de$x^3-3x-1 = 0$?

Question

No estoy muy seguro de cómo abordar este problema. Supuestamente, las raíces de la ecuación son$2\cos\left(\frac {\pi}{9}\right),-2\cos\left(\frac {2\pi}{9}\right)$ y$-2\cos\left(\frac {4\pi}{9}\right)$

¿Como empiezo? Los cosenos parecen especialmente aterradores ...

Answer 1

INSINUACIÓN:

Dejar $x=b\cos A$

PS

Como $$\implies b^3\cos^3A-3(b\cos A)=1$

PS

Dejar $\cos3A=4\cos^3A-3\cos A,$

En consecuencia,$$\dfrac43=\dfrac{b^3}{3b}\implies b^2=4\text{ as }b\ne0$ $

$b=2$$$2\cos3A=1\iff\cos3A=\dfrac12=\cos\dfrac\pi3$ n $ es cualquier número entero

$$3A=2n\pi\pm\dfrac\pi3=\dfrac\pi3(6n\pm1)$$ where $ n \ equiv0, \ pm1 \ pmod3 $

Y si $$A=\dfrac\pi9(6n\pm1)$

Answer 2

Dejar entrar $x=t+t^{-1}$. Así que tenemos$y=x^3-3x-1$ $

Al expandir eso y simplificarlo, obtenemos$$\left(t+\frac {1}{t}\right)^{3}-3\left(t+\frac {1}{t}\right)-1=0$ y al multiplicar tanto el numerador como el denominador por$\frac {t^{6}-t^{3}+1}{t^{3}}$ obtenemos$(t^3+1)$.

Dejamos$\frac {t^{9}+1}{t^{3}(t^{3}+1)}$ y obtenemos$t=\cos(\alpha)+i\sin(\alpha)$. Al igualar los términos, obtenemos$\cos(9\alpha)+i\sin(9\alpha)=-1$ $

A partir de ahí, vemos que$$\begin{cases}\cos(9\alpha)=-1\\\sin(9\alpha)=0\end{cases}$ para$\alpha=\frac {2k\pi+\pi}{9}$ Queremos la parte real, por lo que tenemos$k=0,2,3\ldots$$$e^{\frac {2k\pi+\pi}{9}i}+e^{-\frac {2k\pi+\pi}{9}i}=2\cos\left(\frac {2k\pi+\pi}{9}\right)$ k = 0,2,3 \ ldots $