Signo del tensor de Levi-Civita totalmente antisimétrico $\varepsilon^{\mu_1 \ldots}$ al elevar los índices

Question

Estoy confundido con el signo que obtenemos cuando queremos subir o bajar todos los índices del tensor totalmente antisimétrico de cualquier rango. Tomemos que la métrica es mayoritariamente más ( $-+\ldots+$ ). Entonces es $$\varepsilon^{ijk}=\varepsilon_{ijk}$$ o $$\varepsilon^{ijk}=-\varepsilon_{ijk}?$$ así que estoy confundido en cuanto a cuál es la verdad. Y si consideramos un rango superior, ¿cambia algo? Por ejemplo $$\varepsilon^{ijkl}=\varepsilon_{ijkl}$$ o $$\varepsilon^{ijkl}=\varepsilon_{ijkl}?$$

Answer 1

En el espaciotiempo plano, el isomorfismo entre las componentes contra y covariante lo proporciona la métrica de Minkowski $\eta_{\mu\nu}$ . La métrica de Minkowski en $n$ dimensiones del espaciotiempo es sólo $\operatorname{diag}(-1,1,\dots,1)$ . Así, para todas las dimensiones, $$\operatorname{det}\eta=-1$$ Para cualquier $n\times n$ matriz $A_{\mu\nu}$ existe un conocido teorema $$\epsilon_{\mu_1\cdots\mu_n}\operatorname{det}A=\sum_{i}\sum_{\nu_i}\epsilon_{\nu_1\cdots\nu_n}A_{\nu_1\mu_1}\cdots A_{\nu_n\mu_n}$$ donde no hemos hecho distinción entre covarianza y contravarianza. Pero supongamos $A=\eta$ . Entonces todas las multiplicaciones por $\eta$ aumentará los índices en $\epsilon$ . Y como $\operatorname{det}\eta=-1$ en cualquier dimensión del espaciotiempo, obtenemos $$\epsilon^{\cdots}=-\epsilon_{\cdots}$$ donde los puntos representan cualquier número de índices.

Answer 2

Sean Carroll Espaciotiempo y geometría tiene un debate exhaustivo al respecto y, lo que es aún mejor, este debate se encuentra en el notas de clase que se convirtió en el libro (véase el capítulo 2: Múltiples).

Con toda generalidad (al menos para cualquier sistema de coordenadas diestro), partimos de la símbolo $\tilde{\epsilon}_{\mu_1\cdots\mu_n} \equiv [\mu_1\,\cdots\,\mu_n]$ que es $0$ o $\pm1$ dependiendo del signo de $\mu_1\,\cdots\,\mu_n$ como permutación de $0\,\cdots\,(n-1)$ . Entonces el tensor con índices inferiores obedece a $$ \epsilon_{\mu_1\cdots\mu_n} = \sqrt{\lvert g \rvert} \tilde{\epsilon}_{\mu_1\cdots\mu_n} = \sqrt{\lvert g \rvert}\ [\mu_1\,\cdots\,\mu_n], $$ donde $g$ es el determinante de la métrica.

Algunas personas definen un símbolo con índices superiores que es el mismo que con índices inferiores, pero por otro lado algunas personas incluyen un factor extra de $\operatorname{sgn}(g)$ . De hecho, esto es lo suficientemente ambiguo como para que Carroll indique una versión en las notas vinculadas, y la otra versión en el libro final publicado.

En cualquier caso, el tensor con índices superiores es inequívoca $$ \epsilon^{\mu_1\cdots\mu_n} = \frac{1}{g} \epsilon_{\mu_1\cdots\mu_n} = \frac{\operatorname{sgn}(g)}{\sqrt{\lvert g \rvert}} [\mu_1\,\cdots\,\mu_n]. $$

Al final, deberías usar los tensores completos en los cálculos, al menos si todo lo demás en la fórmula es un tensor verdadero. En el espaciotiempo plano, la métrica es $\operatorname{diag}(-1,+1,+1,+1)$ Así que $g = -1$ y tenemos \begin{align} \epsilon_{\mu_1\cdots\mu_n} & = \phantom{-}[\mu_1\,\cdots\,\mu_n], \\ \epsilon^{\mu_1\cdots\mu_n} & = -[\mu_1\,\cdots\,\mu_n]. \end{align}

Answer 3

Para no confundirte con estas cosas debes saber exactamente qué son los símbolos Levi-Civita $\varepsilon$ y que son el tensor de Levi-Civita $\epsilon$ . Entonces también hay que saber que el dual de Hodge no tiene ninguna confusión cuando se han definido con Levi-Civita tensor. $$ \star H^{\mu \nu} = \frac{1}{2}\epsilon^{\mu \nu}{}_{ \rho \sigma} H^{\rho \sigma}\Bigg( = \frac{1}{2}\epsilon^{\mu \nu \rho \sigma} H_{\rho \sigma}=-\frac{1} {2\sqrt{-g}}\varepsilon^{\mu \nu \rho \sigma} H_{\rho \sigma}\Bigg) $$ y así $$ \star H_{\mu \nu} = \frac{1}{2}\epsilon_{\mu \nu}{}^{ \rho \sigma} H_{\rho \sigma}\Bigg( = \frac{1}{2}\epsilon_{\mu \nu \rho \sigma} H^{\rho \sigma}=-\sqrt{-g}\varepsilon_{\mu \nu \rho \sigma} H^{\rho \sigma}\Bigg) $$