Polinomio de Taylor con resto de Lagrange

Question

En mi curso hay un párrafo: el polinomio de Taylor con resto de Lagrange,
El párrafo comienza con un teorema (me fui de la restricciones):

$$ ( \exists \theta \in ]0,1[)(f(a +h) = T_{f,a,n}(a + h) + \frac{h^{n+1}}{(n+1)!}D^{n+1}f(a + \theta h)) $$

Con $f$ $R-R$ función y $a$ $a + h$ definida sobre un intervalo de $I$.
Y la única cosa en el párrafo es una prueba del teorema anterior.

Antes de que yo estoy empezando con la prueba, podría alguien por favor explicar el teorema anterior en el lenguaje humano?

Entiendo lo que es un polinomio de Taylor es, y lo que es bueno para el, pero no puedo convertir esto en algo que tiene sentido...

Answer 1

Creo que lo que tienes es el $n$ th-grado polinomio de Taylor para una función %#% en $f$ y evaluando en $a$ #%. Básicamente, el término del error $x=a+h$ se ve como el último término en el $\frac{h^{n+1}}{(n+1)!}D^{n+1}f(a + \theta h))$ st grado polinomio de Taylor sería, salvo que en vez de valorar el derivado de st #% de $(n+1)$% #%, se evalúa en algún lugar entre $(n+1)$y $a$ ($a$ medidas de la forma de $a+h$ a $\theta$).

Answer 2

Esta fórmula no es una forma terriblemente complicado calcular $f(a+h)$ (por ejemplo, $\log(1+h)$) $exactly$, pero te dice lo siguiente: Si usted calcular el valor $T_{f,a,n}(a+h)$ (que es un simple polinomio valor) en lugar de ello cometer un error que es pequeño porque (i) $h^{n+1}$ podría ser muy sma ll, (ii) ${1\over(n+1)!}$ es muy pequeña y (iii) que el $(n+1)^{\rm st}$ derivado de $f$ está delimitado por una constante a lo largo, así que no importa donde se encuentra el punto $a+\theta h$ garantizada por el teorema.