Demuestre que si$A$ es un conjunto con cardinalidad infinita, entonces existe una bijección entre$A$ y$A^2$.

Question

Demuestre que si$A$ es un conjunto con cardinalidad infinita, entonces existe una bijección entre$A$ y$A^2$.

Sé que existe una bijección entre$\Bbb{R}$ y$\Bbb{R^2}$, pero no creo que esa técnica pueda generalizarse.

Creo que la prueba de esto puede ser altamente no trivial. Cualquier ayuda sería genial.

Answer 1

La única manera que se me ocurre probar esto para innumerables conjuntos es la invocación del Cantor-Schröder-Bernstein teorema. http://en.wikipedia.org/wiki/Schr%C3%B6der%E2%80%93Bernstein_theorem

Usted puede encontrar fácilmente una función inyectiva $f: A \to A\times A$ define algo como $f(a) = (a,a)$. Si usted puede encontrar una inyección de $g:A\times A \to A$, entonces usted sabrá que los dos conjuntos tienen la misma cardinalidad. Me imagino encontrar a $g$ va a ser difícil.