Ecuación de Pell polinomial

Question

¿Alguien me puede apuntar en la dirección correcta?

Deje que$k$ sea un campo de la característica$0$ y deje que$D \in k[x]$ no sea constante. Demuestre que la ecuación de 'polinomio Pell'$$f^2 − Dg^2 = 1,\,\,\,\,f, g ∈ k[x]$ $ no tiene soluciones con$g \neq 0$ si$\deg(D) > 2 \deg \operatorname{rad}(D) − 2$.

Al principio intenté usar Mason-Stothers, pero no pude encontrar la respuesta.

Answer 1

Parece una consecuencia fácil del teorema de Mason-Stothers .

$\deg f^2=\deg Dg^2\Rightarrow2\deg f=\deg D+2\deg g\Rightarrow\deg D=2\deg f-2\deg g$

$2\deg f<\deg\operatorname{rad}(f^2Dg^2)=\deg\operatorname{rad}(fDg)\le\deg f+\deg\operatorname{rad}(D)+\deg g\Rightarrow\deg D\le2\deg\operatorname{rad}(D)-2$