Demostrar que .

Question

Tenemos que hacerlo sin cálculo ni ninguna desigualdad compleja. El nivel de complejidad es que ni siquiera podemos usar la desigualdad AM-GM.
Así que intenté,$$(\sin\theta-\cos\theta)^2\geq0$ $$$1-2\sin\theta\cos\theta\geq0$ $$$\frac12\geq\sin\theta\cos\theta$ $ Volviendo al paso anterior,$$(\sin\theta+\cos\theta)^2\geq4\sin\theta\cos\theta$ $ Estoy atascado aquí, por favor ayuda.
Edit : Lo sentimos, pero solo podemos usar el conocimiento hasta la clase 10a. Que incluye,
$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ etc.
$\sin(90^{\circ}-\theta)=\cos\theta$ etc.
Y ratios de trigonometría básicos.

Answer 1

Sugerencia: tenemos$$\sin\theta+\cos\theta=\sqrt{2}\sin\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right).$$Clearly we have $$-1\leq\sin(\theta+\pi/4)\leq1.$ $

Actualización: Para responder a la pregunta editada (es decir, al no usar la fórmula de la suma para$\sin(\theta+\pi/4)$, tenemos$$(\sin\theta+\cos\theta)^2+(\sin\theta-\cos\theta)^2=2\cdot\underbrace{(\sin^2\theta+\cos^2\theta)}_1+2(\sin\theta)(\cos\theta)-2(\sin\theta)(\cos\theta)=2.$$ Since $ x ^ 2 \ geq0$ for all real $ x$, we can subtract $ (\ sin \ theta- \ cos \ theta) ^ 2$ from both sides to obtain $$2-(\sin\theta-\cos\theta)^2\geq0.$$Equivalently, this can be written $$(\sin\theta-\cos\theta)^2\leq2.$$This just means $$|\sin\theta-\cos\theta|\leq\sqrt{2}.$$ By definition of absolute value, this says $% PS

Answer 2

Hay formas más fáciles, pero podemos usar AM-GM.

Por la desigualdad del triángulo tenemos$|\sin\theta+\cos\theta|\le |\sin\theta|+|\cos\theta|$.

Por AM-GM tenemos$|\sin\theta|+|\cos\theta|\le \frac{1}{\sqrt{2}}|\sin\theta||\cos\theta|$. Esto es igual a$\sqrt{2}|\sin(2\theta)|$, que es$\le \sqrt{2}$.

Observación: ya casi terminaste, para$4\sin\theta\cos\theta=2\sin(2\theta)$. Y$2\sin(2\theta)$ tiene un valor absoluto$\le 2$.

Answer 3

Usando$$\displaystyle (\sin \phi+\cos \phi)^2+(\sin \phi-\cos \phi)^2 = 2$ $

Ahora$$\displaystyle (\sin \phi-\cos \phi)^2 = 2-(\sin \phi-\cos \phi)^2$ $

Usando$$\bf{Square\; Quantity\geq 0}$ $

Entonces$$\displaystyle (\sin \phi-\cos \phi)^2\geq0$ $

Entonces$$\displaystyle 2-\displaystyle (\sin \phi+\cos \phi)^2\geq 0$ $

O obtenemos$$\displaystyle (\sin \phi+\cos \phi)^2\leq \left(\sqrt{2}\right)^2$ $

Entonces obtenemos$$\displaystyle-\sqrt{2} \leq (\sin \phi+\cos \phi)\leq \sqrt{2}$ $

Answer 4

Una respuesta (¿simple?):

Dado que$\sin$ y$\cos$ están delimitados, hay$r>0$ tal que$$\left|\sin\theta+\cos\theta\right|\leq r$ $ Reemplazo$\theta$ por$-\theta$ da$$\left|\sin\theta-\cos\theta\right|\leq r$ $ Multiplicando juntos$$\left|\sin^2\theta-\cos^2\theta\right|\leq r^2$ $ Pero el LHS está limitado por$2$, así que al seleccionar$r$ lo más pequeño posible, obtenemos ese$r^2\leq 2$. Asi que $r\leq\sqrt{2}$.

Answer 5

Podría usar la Fórmula R (que se puede derivar usando identidades trigonométricas) para combinar$\sin \theta + \cos \theta$ en

PS

y luego usa el hecho de que$$\sqrt{2}\sin \left(\theta + \frac{\pi}{4}\right)$.