Razona si es cierto que:

Question

Que $a_1,b_1,c_1,a_2,b_2,c_2$ ser positivo números verdaderos. Es cierto que

$\sqrt{(a_1+b_1+c_1)(a_2+b_2+c_2)}\geq \sqrt{a_1a_2}+\sqrt{b_1b_2}+\sqrt{c_1c_2}$

Si esto es cierto, habrá resultado un problema de Olimpiada. No pude encontrar un contraejemplo.

Answer 1

Cuadrada de ambos lados (son no negativos) y reescribir los términos: $$\iff(\sqrt{a_1}\sqrt{a_1}+\sqrt{b_1}\sqrt{b_1}+\sqrt{c_1}\sqrt{c_1})(\sqrt{a_2}\sqrt{a_2}+\sqrt{b_2}\sqrt{b_2}+\sqrt{c_2}\sqrt{c_2})\ge(\sqrt{a_1}\sqrt{a_2}+\sqrt{b_1}\sqrt{b_2}+\sqrt{c_1}\sqrt{c_2})^2$ $ esta es precisamente la desigualdad de Cauchy-Schwarz aplicada en $(\sqrt{a_1},\sqrt{b_1},\sqrt{c_1})$ y $(\sqrt{a_2},\sqrt{b_2},\sqrt{c_2})$.

Answer 2

Una alternativa a prueba (la "norma" de Cauchy-Schwarz) es para comprobar que la desigualdad se cumple (la igualdad) cuando todas las variables de la igualdad de $0$; y que, cuando todas las variables son no negativas, la derivada parcial de la mano izquierda con respecto a cualquier variable sea igual o superior a la derivada parcial de la mano derecha (por lo tanto, si usted "crecer" las variables de $0$ a lo que no valores negativos desea, la "ventaja" de la mano izquierda sólo puede crecer).

De hecho, por el mismo argumento, si todas las variables son estrictamente positivo, la desigualdad se convierte en estricto!

Tenga en cuenta que este argumento no requieren un poco de cuidado si desea formalizar, debido a que la derivada de $\sqrt{x}$ con respecto al $x$ diverge a $+\infty$ $x$ converge a $0$.