¿Esto es un geodésico?

Question

Dejemos que $(M,g)$ sea una variedad riemanniana. Sea $p$ en $M$ y $v,v_{0}$ dos vectores en $\mathrm{T}_{p}M$ . Estoy mirando la curva

$$ \gamma \, : \, t \, \longmapsto \, \mathrm{Exp}_{p}(tv+v_{0}) $$

y me pregunto si esta curva es una geodésica. Aquí, $\mathrm{Exp}_{p}$ denota el mapa exponencial riemanniano : $c \, : \, t \, \mapsto \, \mathrm{Exp}_{p}(tw)$ es la única geodésica tal que $c(0)=p$ y $c'(0)=w$ . Para demostrar que $\gamma$ es una geodésica, debería calcular $\nabla_{\dot{\gamma}}\dot{\gamma}$ y ver si esta cantidad es cero o no. Sin embargo, tengo problemas para calcular $\nabla_{\dot{\gamma}}\dot{\gamma}$ y agradecería que alguien me arrojara algo de luz al respecto.

Está claro que $\gamma(0) = \mathrm{Exp}_{p}(v_{0})$ y (si no me equivoco) $\gamma'(0) = \mathrm{D}_{v_{0}} \big( \mathrm{Exp}_{p} \big) \cdot v \in \mathrm{T}_{\gamma(0)}M$ . Así que me preguntaba si $\gamma$ no sería la geodésica de $\gamma(0)$ con velocidad inicial $\gamma'(0)$ .

Answer 1

La curva $\gamma(t) = \operatorname{Exp}_{p}(tv + v_{0})$ es no generalmente una geodésica.

Dejemos que $(M, g)$ sea la esfera unitaria redonda en $\mathbf{R}^{3}$ y que $p = (0, 0, 1)$ . En coordenadas polares $(r, \theta)$ en el plano tangente $T_{p} M$ el mapa exponencial viene dado por $$ \operatorname{Exp}_{p}(r, \theta) = (\sin r \cos\theta, \sin r \sin\theta, \cos r). $$ En particular, el círculo de radio $\pi$ mapas del polo sur $-p = (0, 0, -1)$ . Una línea que no pasa por el origen tiene ecuación polar $r = c\sec(\theta + \theta_{0})$ para algunos números reales $c > 0$ y $\theta_{0}$ . Es fácil comprobar (tanto analítica como geométricamente) que la imagen de dicha línea no es, en general, un arco de gran circunferencia.