Machin ' términos fórmula s expresados en términos de la proporción áurea: $4\cot^{-1}{5}-\cot^{-1}{239}={\pi\over 4}$

Question

Considere la fórmula de Machin

PS

¿Cómo se demuestra eso?

$$4\cot^{-1}{5}-\cot^{-1}{239}={\pi\over 4}\tag1$ $ y$$\cot^{-1}{\phi}-\cot^{-1}{\phi^3}-\cot^{-1}{\phi^5}-\cot^{-1}{\phi^7}=\cot^{-1}{5}\tag2$ $$$2\cot^{-1}{\phi}-3\cot^{-1}{\phi^3}-3\cot^{-1}{\phi^5}-4\cot^{-1}{\phi^7}=\cot^{-1}{239}\tag3$; Proporción de oro

Un intento:

PS

PS

Entonces $\phi$

PS

$$\cot^{-1}{\phi}-\cot^{-1}{\phi^3}=\cot^{-1}({\phi^2-\phi^{-2}})=\cot^{-1}{3}\tag4$ parece un poco desordenado si aplicamos como anteriormente, así que creo que hay una manera fácil. ¿De qué otra manera podemos abordar$$\cot^{-1}{\phi^5}+\cot^{-1}{\phi^7}=\cot^{-1}{\phi^6-\phi^{-6}\over \sqrt{5}}=\cot^{-1}8\tag5$

Answer 1

Simplemente puede considerar que$\cot^{-1}(\varphi^k)=\text{arg}(\varphi^k+i)$, por lo tanto,$(2)$ se reduce a verificar que

$$ 65 \left(29+13 \sqrt{5}\right)\cdot(\varphi+i) = (5+i)(\varphi^3+i)(\varphi^5+i)(\varphi^7+i) \tag{2}$ $ y$(3)$ se reduce a verificar que:$$ 7140250 \left(375125+167761 \sqrt{5}\right)\cdot(\varphi+i)^2=(239+i)(\varphi^3+i)^3(\varphi^5+i)^3(\varphi^7+i)^4.\tag{3} $ $