Estoy tratando de evaluar la siguiente integral definida:
$\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{x+1}} dx$
Bueno pongo la integral en symbolab para saber su valor ( $4/3$ )
Sin embargo, cuando intenté calcular la integral utilizando la sustitución $x= t^2-1$ y haciendo mis nuevos extremos de integración $1$ y $\sqrt 2$ Tengo que $\frac{4-2\sqrt 2}{3}$ .
Bueno me pregunto por qué... He verificado en symbolab y la integral que he calculado es correcta. Pero la sustitución da a mi integral un valor diferente.
¿Puede alguien explicarme por qué? ¿Cómo puedo hacer una sustitución correcta?
Gracias.
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Sustituir $\sqrt{x+1}=t$ $$\implies x=0, t=+1; x=1,t=+\sqrt{1+1}$
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Sustituciones definidas por $C^1$ -son válidos. Este es el caso de tu sustitución siempre que elijas un solo lado de la parábola. No todas las sustituciones son válidas.
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Ejemplo: $\int_{-1}^1 dx = 2$ . Ahora haz la sustitución $x \mapsto x^2$ (en otras palabras $t^2 = x$ ). Obtenemos $\int_{0}^1 2t dt = 1$ . Tenga en cuenta que $x \mapsto x^2$ rastros $[0,1]$ el doble de $x$ varía $[-1,1]$ por lo que no tenemos una biyección de regiones de integración.
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@EricThoma ¿El problema no es que $f(x) = x^2$ no tiene solución $c$ a $f(c) = -1$ ¿Y por eso la sustitución no tendría sentido?
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@GFauxPas Tienes razón. Esto es un poco más limpio ya que no usamos pullbacks. Si formulamos el cambio de variables como $\int_{\varphi(U)} f(x) dx = \int_U f(\varphi(x)) \lvert J(x) \rvert dx$ con $J$ el jacobiano, entonces deberíamos tener un contraejemplo para $\varphi(x) = x^2$ , $U = [-1,1]$ , $f = 1$ .
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@GFauxPas Pero el problema de tener varios puntos en $\varphi(U)$ para cada punto de $U$ en análogo a no tener ningún punto en $\varphi^{-1}(U)$ para un punto en $U$ que es lo que tiene mi primer ejemplo.