Mandelbrot y Julia Set

Question

Considerar un sistema dinámico $$z_{n+1}=\frac{\alpha+zn}{1+z{n-1}}$$ for $n=0,1,2,\dots$

En otras palabras el sistema es $$z{n+1}=f{\alpha}(zn,z{n-1})$$ where $f{\alpha}$ is defined from $B (z, r) \times B(z,r)$ to $B(z,r)$ as $f{\alpha}(z,w)=\frac{\alpha+z}{1+w}$. $B(z,r)$ es una bola abierta en plano complejo.

¿Cómo podemos averiguar los conjuntos de Mandelbrot y Julia en este sistema?

Answer 1

Para visualizar el conjunto de Julia para una función dada, $f_\alpha$ en su familia, usted puede iterar a partir de cada punto en su parcela, y la mirada de los ciclos. Un sencillo algoritmo para el ciclo de detección es la tortuga y la liebre. Esencialmente, se conservan dos independientes iteraciones va, una iteración de dos veces tan rápido como el otro, y si las dos secuencias encontrar a continuación, tiene un ciclo. Usted puede, a continuación, el color de su punto de partida en función de la rapidez del ciclo convergente. Si realiza este experimento para la derecha, los valores de $\alpha$ verá maravilloso patrones fractales aparecen en el límite de la atracción de las cuencas. Este límite, el complemento del conjunto de puntos en los que los ciclos de converger, es el conjunto de Julia para $f_\alpha$.

He escrito un OpenGL Shading Language basado en el programa para ayudarle a empezar. Usted debe ser capaz de funcionar en cualquier moderno WebKit basado en el navegador. El programa completo se encuentra en un solo bastante pequeño archivo, así que creo que tendrás fácil a la hora de modificarlas.

La parcela en el programa se ejecuta a partir de -10 a +10 en tanto lo real y lo imaginario ejes. El parámetro $\alpha$ está resaltada en amarillo, y el brillo de cada punto indica la rapidez de la iteración a partir de ese punto convergente a un ciclo. Más brillante indica una convergencia más rápida. Usted puede cambiar el parámetro de $\alpha$ arrastrando en la ventana, y verás diferentes conjuntos de Julia si haces eso.

El conjunto de Mandelbrot es un objeto en particular relacionados con una familia de funciones que en su pregunta, pero es el tipo de cosa que después se conoce como la bifurcación locus de la familia de funciones, $f_\alpha$. Hay varias formas equivalentes para definir la bifurcación locus, pero a grandes rasgos es el conjunto de parámetros de $\alpha$ de manera tal que una pequeña perturbación de los parámetros conduce a un cambio abrupto en la dinámica. Si ejecuta el programa de demostración y arrastre el parámetro con el ratón verás que a veces el conjunto Julia se transforma "suavemente" y a veces cambia abruptamente. Cuando el conjunto Julia parece inestable es una buena apuesta que tiene el parámetro en (o cerca de) la bifurcación de locus.

Para explorar el espacio de parámetros de una familia de funciones de una variable compleja, que normalmente cabría empezar por encontrar el punto crítico(s) de la familia. Entonces para cualquier valor dado del parámetro ($\alpha$, en su caso) sería iterar a partir de los puntos críticos y de color el parámetro basado en el largo plazo el comportamiento de esa iteración. Por ejemplo, el conjunto de Mandelbrot es el conjunto de valores del parámetro $c$ en la familia $z\to z^2 + c$, donde el largo plazo el comportamiento del punto crítico (0) por iteración, es permanecer limitada, frente a acercarse a infinito. La bifurcación locus de la familia $z\to z^2 + c$ es la frontera del conjunto de Mandelbrot. Por desgracia, no estoy muy seguro de lo mucho que estas técnicas se aplican a las familias de funciones de dos variables complejas, como la que usted estudia. Tal vez alguien con más experiencia en este campo, puede completar los detalles. Como último recurso, creo que se podría escribir un programa que genera Julia conjunto de visualizaciones para diferentes parámetros y detecta cuando un pequeño cambio en el parámetro conduce a un cambio abrupto en el conjunto Julia, sólo mediante la comparación de imágenes. Esto puede ser suficiente para obtener algunas primeras parcelas de la bifurcación locus.

Edit: estoy buscando un poco de ayuda extra con esto en mathoverflow. En los enlaces de la pregunta se puede ver una representación de la bifurcación locus de $f_\alpha$ generados mediante la técnica que se describe en el párrafo anterior.