Un criterio de independencia basado en la función característica

Question

Dejemos que $X$ y $Y$ sean variables aleatorias de valor real definidas en el mismo espacio. Utilicemos $\phi_X$ para denotar la función característica de $X$ . Si $\phi_{X+Y}=\phi_X\phi_Y$ entonces debe $X$ y $Y$ ser independiente?

Answer 1

Como ya señaló el usuario75064, la respuesta es "no". Sin embargo, existe el siguiente resultado:

Dejemos que $X,Y$ sea $\mathbb{R}^d$ -variables aleatorias valoradas. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes.

1. $X,Y$ son independientes
2. $\forall \eta,\xi \in \mathbb{R}^d: \mathbb{E}e^{\imath \, (X,Y) \cdot (\xi,\eta)} = \mathbb{E}e^{\imath \, X \cdot \xi} \cdot \mathbb{E}e^{\imath \, Y \cdot \eta}$

es decir, si la función característica del vector aleatorio $(X,Y)$ es igual al producto de la función característica de $X$ y $Y$ entonces $X$ y $Y$ son independientes ( prueba ).

Answer 2

No. La propiedad en su puesto se llama subindependencia y es estrictamente más débil que la independencia. (Tenga en cuenta que algunas personas utilizan el término "subindependiente" como sinónimo de "no correlacionado"). Además de las referencias dadas en Wikipedia, puede encontrar un ejemplo en esta breve nota . Lamentablemente, está detrás de un muro de pago. El ejemplo consiste en dos variables aleatorias con pdf $$h(x,y)=f(x)f(y)(1+\cos x\cos 3y)$$ donde $$f(x)=C\left(\int_0^{1/2} \exp(1/(4s^2-1))\cos (sx)\,ds\right)^2$$ con una constante de normalización adecuada $C$ .