Sé que tengo hicieron una pregunta similar hace un par de días, años, pero todavía tengo un problema. Necesito un límite superior para: $$ \ln\frac{\Gamma\left(\frac{x}{3}+1\right)}{\Gamma\left(\frac{x}{4}\right)\Gamma\left(\frac{x}{12}\right)} $$ Similar a esta obligado: $$ \ln\left(\frac{\Gamma\left(\frac{x}{3}\right)}{\Gamma\left(\frac{x}{4}+1\right)\Gamma\left(\frac{x}{12}+1\right)}\right)\leq \left(\frac{\ln 4}{3}-\frac{\ln 3}{4}\right)x $$ He probado como me había aconsejado en mi post anterior - aplicación de la aproximación de Stirling ($ \Gamma(x)\approx\sqrt{\frac{2 \pi}{x}}{\left( \frac{x}{e} \right)}^x $) y usando el hecho de que $ \ln\Gamma(x) $ es una función convexa y el de Bohr-Mollerup teorema. Después de mucho cálculos, me derivados de: $$ \ln\frac{\Gamma\left(\frac{x}{3}+1\right)}{\Gamma\left(\frac{x}{4}\right)\Gamma\left(\frac{x}{12}\right)}\le\ln{x}+x\left(\frac{\ln{4}}{4}-\frac{\ln{3}}{3}+\frac{\ln{12}}{12}\right) $$ Pero hice error en alguna parte (y no soy capaz de encontrarlo), debido a que esta desigualdad se produce un error, por ejemplo, para $ x=4567 $... Así que alguien podría calcular el límite superior para mí y tal vez de seguimiento cuando yo podría cometer el error? Realmente necesito estos límites. Gracias de antemano... Espero que alguien me ayude!
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Tenemos las estimaciones $$ 0 \ le \ log (\ Gamma (x)) - \ left [x \ log (x) -x + \ frac12 \ log (2 \ pi) - \ frac12 \ log (x) \ right] \ le \ frac1 {12x} $$ y $$ - \ frac1 {360x ^ 3} \ le \ log (\ Gamma (x)) - \ left [x \ log (x) -x + \ frac12 \ log (2 \ pi) - \ frac12 \ log (x) + \ frac1 {12x} \ right] \ le0 $$ Usando estos, junto con el hecho de que$\log\left(\frac{\Gamma\left(\frac x3+1\right)}{\Gamma\left(\frac x4\right)\Gamma\left(\frac x{12}\right)}\right)\sim\log\left(\frac{x^2}{48}\right)$ para$x$ cerca de$0$, $ $ \begin{align} \log\left(\frac{\Gamma\left(\frac x3+1\right)}{\Gamma\left(\frac x4\right)\Gamma\left(\frac x{12}\right)}\right) &\le\left(\frac14\log(4)+\frac1{12}\log(12)-\frac13\log(3)\right)x+\frac32\log(x)-\log(12\sqrt{2\pi}) \end {align} $$
