la primera $2k$ términos de la serie de potencias de $\sec x + \tan x$ en $x=-\pi/2$

Question

Conocemos la serie de potencias de $\sec x+\tan x$ es la siguiente,

$f(x)=\sum_{n\geq 0}\frac{E_n}{n!}x^n$ donde $E_n$ es Números de Euler en zigzag y claramente el radio de convergencia de $f(x)$ es $\pi/2$ .

Supongamos que $f_k=\sum_{n\geq 0}^{2k-1}\frac{E_n}{n!}x^n$ es decir, la suma del primer $2k$ condiciones.

Obviamente $f(x)$ diverge en $-\frac\pi2$ . Sin embargo, parece $\lim_{k\rightarrow \infty}f_k(-\frac{\pi}2)$ converge.

He calculado primero varios términos de $f(x)$ y encontró $f_k(-\frac\pi 2)$ parece converger a $-\frac2\pi$ .

Pero no tengo ni idea para probarlo. ¿Puede alguien darme alguna pista?

Gracias de antemano.

Answer 1

Por Teorema de Abel si la serie de potencias converge, entonces coincide con el límite de la función.

Esto se opone a $-2/\pi$ . En cambio, o bien la serie de potencias converge a $0$ (por el límite que Michael y Ewan dan en la otra respuesta) o no converge.

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Un poco de lío numérico: Parece que el términos de la suma (no la suma en sí) enfoque $(-1)^n 4/\pi$ .

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Cálculo de la suma de los primeros $2k$ términos, como $k \rightarrow \infty$ :

Como dijo Winther, estamos sumando $$\left(\frac{E_{2n}}{(2n)!} - \pi/2 \frac{E_{2n+1}}{(2n+1)!}\right)\left(\pi/2\right)^{2n}$$

Esta es exactamente la serie Maclaurin para $g(x) = \mathrm{sec}(x) - \frac{\pi}{2} \mathrm{tan}(x)/x$ evaluado en $x = \frac{\pi}{2}$ .

Necesitamos: 1. Convergencia de la serie en $x = \frac{\pi}{2}$ . Y 2. El límite de la función sea el deseado.

Aquí tienes dos:

$\mathrm{lim}_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \mathrm{sec}(x) - \frac{\pi}{2} \mathrm{tan}(x)/x = \mathrm{lim}_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{x - \frac{\pi}{2} \mathrm{sin}(x)}{x\, \mathrm{cos}(x)} = \mathrm{lim}_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{1-\frac{\pi}{2}\mathrm{cos}(x)}{\mathrm{cos}(x) - x\, \mathrm{sin}(x)} = \frac{1}{-\pi/2} = -\frac{2}{\pi}$ .

Para 1, observe $g(z)$ es holomorfo pasado $\pi/2$ (los únicos polos posibles están en $\pm \pi/2$ y el límite para $-\pi/2$ es $2/\pi$ y ya hemos calculado el límite en $+\pi/2$ ).

Answer 2

Considere el límite

$$\lim_{n\to \infty} \frac{E_n}{n!}\left(\frac{\pi}{2}\right)^n$$

Utilizando $E_{n} \sim \frac{(-1)^{(n-1)/2} 4^{n+1}}{n+1}B_{n+1}$ junto con $B_{2n} \sim (-1)^{n+1}4\sqrt{\pi n}\left(\frac{n}{\pi e}\right)^{2n}$ y Aproximación de Stirlings obtenemos

$$\lim_{n\to \infty} \frac{E_{2n-1}}{(2n-1)!}\left(\frac{\pi}{2}\right)^{2n-1} = \frac{4}{\pi}$$

por lo que los términos de la serie no convergen a $0$ y, en consecuencia, la serie no converge.