¿Centro de Clifford álgebra dependiendo de la paridad de $\dim V$?

Question

Al leer acerca de la estructura de álgebra de Clifford, hubo dos hechos que se mencionan como puntos de bala sobre el centro de álgebra de Clifford basado en la paridad de la dimensión de la base del espacio vectorial que ahora estoy curioso acerca de.

Dicen que usted tiene un número finito de dimensiones de espacio vectorial $V$ sobre un campo $K$, de tal manera que $\operatorname{char} K\neq 2$, e $G$ es un bilineal simétrica forma. Deje $\mathrm{Cl}_G(V)$ denotar la correspondiente álgebra de Clifford.

Al parecer, si $\dim V$ es par, entonces el centro de la $\mathrm{Cl}_G(V)$ coincide con $K$. Sin embargo, si $\dim V$ es impar, entonces el centro es en realidad un $2$-dimensional espacio vectorial sobre $K$.

Estos parecen bien hechos interesantes de conocer, pero no pude encontrar una referencia de autoridad que contiene una prueba de cualquiera de ellos. ¿Alguien aquí tiene una prueba interesante de uno/ambos podía leer? Se lo agradecería mucho, gracias.

Answer 1

Si $e_1, e_2, \ldots, e_n$ son una base ortogonal en $V$, entonces las relaciones $$e_i e_j = - e_j e_i$$ hold for $i \ne j$ in the corresponding Clifford algebra. From this, we can derive the relation $$e_A e_B = e_B e_A (-1)^{|A| \cdot |B| - |A \cap B|}$$ where $Un$ and $B$ are subsets of $\{1,2,\ldots,n\}$ and $e_A = \prod_{i \in A} e_i$, the product taken in increasing order of indices. (To see this, note that every time you move an "element" $e_i$ of $e_B$ "past" all of $e_A$ you introduce a minus sign for each element of $$ if $i \no \en$, but one less minus sign than elements of $$, if $i \in A$.)

A partir de esto, podemos demostrar que si $n$ es, incluso, el único elemento de la forma $e_A$ en el centro de el álgebra de Clifford es 1, y si $n$ es impar, también tenemos $e_1 e_2 \ldots e_n$. (Para descartar todos los otros elementos, vamos a $A$ ser un subconjunto no vacío de índices; deje $B = \{i, j\}$ donde $i \in A$, $j \not \in A$, entonces la fórmula anterior muestra que $e_A e_B = -e_B e_A$. A continuación, mostrar que $e_1 e_2 \ldots e_n$ trabaja precisamente al $n$ es impar.)

Entonces, es sencillo a considerar el caso de un elemento general $\sum c_A e_A$, desde multiplicar una suma por un fijo $e_B$ actúa de manera "independiente" en cada una de las $e_A$.