Demostrar

Question

<blockquote> <p>Mostrar que $\exp(\mathrm{Tr}(X))=\det(\exp(X))$ $X$ Dónde está una matriz utilizando el concepto de la forma normal de Jordania</p> </blockquote> <p>Me di cuenta de esta fórmula por considerar que: $\det(\exp(X))=\exp(\lambda_1) \times\cdots \times \exp(\lambda_n)=\exp(\lambda_1 + \cdots + \lambda_n)=\exp(\mathrm{Tr}(X))$</p> <p>$\lambda_i$ son valores propios de $X$</p> <p>Estaba seguro de cómo probar usando la forma normal de Jordania - podrian ayudarme por favor?</p>

Answer 1

Si $X$ es similar a $Y$ $X = P^{-1}YP$

$$ \operatorname{Tr}(X) = \operatorname{Tr}(Y) \implica \exp(\operatorname{Tr}(X)) = \exp(\operatorname{Tr}(Y)), \\ \exp(X) = P^{-1}\exp(Y)P \implica \det(\exp(X)) = \det(\exp(Y)) $$

así, podemos asumir que el $X \in M_n(\mathbb{C})$ está en la forma canónica de Jordan. En particular, $X$ es triangular superior con los autovalores $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ (contados con multiplicidades) en la diagonal. Entonces, por la definición de $\exp$, la matriz $\exp(X)$ también es triangular superior con los valores de $e^{\lambda_1}, \dots, e^{\lambda_n}$ en la diagonal, y así

$$ \det(\exp(X)) = e^{\lambda_1} \dots e^{\lambda_n} = e^{\lambda_1 + \dots + \lambda_n} = \exp{\operatorname{Tr(X)}}. $$

Answer 2

Aquí está otro acercamiento usando ecuaciones diferenciales:

Resuelve el que $Y$ $\dot{Y} = XY$ sujetas a $Y(0) = I$. Tenga en cuenta que la única solución es dada por $Y(t) = e^{tX}$.

Que $d(t) = \det Y(t)$, entonces el $\dot{d}(t) = \det(Y(t)) \operatorname{tr} (Y^{-1}(t) X Y(t)) = \operatorname{tr} X \det Y(t) = \operatorname{tr} X d(t)$.

Por lo tanto, $d(1) = d(0) e^{\operatorname{tr} X}$.