Excluir los símbolos de la operación de firma

Question

Probablemente sabemos lo que una firma es, contiene un conjunto de $\sigma{op}$ (los símbolos de la operación), $\sigma{rel}$ (los símbolos de relación) y una función $ar:\sigma{op}\cup\sigma{rel}\rightarrow\mathbb N$.

Si excluimos algunos símbolos de operación obtenemos una estructura que llamamos reducción. Tengo un problema para encontrar los cuatro "reducciones" de $(\mathbb N,0,1,+,\times,

Este es un ejercicio en mi libro de lógica en un capítulo donde se discute la definición de Tarskis de la verdad, no veo una relación, puede usted me podria ayudar con eso.

Answer 1

Primero de todo, lo que usted llama "reducciones" por lo general se llama "reducts".

Ahora que usted está buscando cuatro reducts de $(\mathbb{N},0,1,+,\times,<)$, que es isomorfo a reducts de $(\mathbb{Q},0,1,-,+,\times)$. Observe que isomorfismo sólo tiene sentido para las estructuras de la misma firma, así que vas a tener que deshacerse de $<$$-$, ya que estos símbolos sólo aparecen en una de las firmas de cada uno.

Nos quedamos con el conjunto de símbolos $\{0, 1, +, \times\}$. Tenemos un reducto de $(\mathbb{N},0,1,+,\times)$ $(\mathbb{Q},0,1,+,\times)$ para cada subconjunto de este conjunto de símbolos. Exactamente cuatro de estos subconjuntos producir isomorfo estructuras.

Aquí está uno para empezar: Para estructuras en el vacío de la firma, un isomorfismo es sólo un bijection (no existen operaciones / relaciones de respeto), así que después de tomar un reducto para el vacío de la firma, cualquiera de las dos estructuras de la misma cardinalidad son isomorfos.

No estoy seguro de por qué esta es la sección de Tarski de la definición de la verdad - no veo la conexión.