Usted siempre obtendrá $\det(BA)=0$. La razón de esto es muy simple : $BA$ $3\times 3$ matriz de rango en la mayoría de los $2$; por lo tanto no es invertible, y por lo tanto se ha $0$ determinante.
Una posible definición de la clasificación es que es la dimensión del subespacio generado por las columnas o las líneas de las matrices. Las líneas de $BA$ se obtuvo mediante la toma de las combinaciones lineales de las líneas de $A$ : por ejemplo, si
$$B=\begin{pmatrix}b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \\ b_{31}& b_{32} \end{pmatrix},\ A= \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{pmatrix},$$
a continuación, la primera línea de $BA$ es
$$b_{11}\cdot \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \end{pmatrix} + b_{12}\cdot \begin{pmatrix} a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{pmatrix}.$$
Desde las líneas de $BA$ son generados por sólo dos líneas (de $A$), la dimensión del subespacio generado no puede ser más de $2$.
Esto también significa que las líneas de $BA$ no puede ser linealmente independientes, por lo tanto debe haber alguna relación lineal entre ellos, lo que significa que cuando se convierte a la forma escalonada de la matriz sin duda tendrá una línea de $0$s.
