Parciales mixtos de la función Beta B $(a,b)$ en $(1,0^+)$

Question

En este puesto M.N.C.E dio la igualdad a continuación $$\frac{\partial ^{5}}{\partial a^{3}\partial b^{2}}\mathrm{B}\left ( 1,0^{+} \right )=\left [ \frac{1}{b}+O\left ( 1 \right ) \right ]\left [ \left ( 12\zeta ^{2}\left ( 3 \right )-\frac{23\pi ^{6}}{1260} \right )b+O\left ( b^{2} \right ) \right ]_{b=0}$$ donde $\mathrm B(a,b)$ es la función Beta.

Pero, ¿cómo conseguir esta igualdad? ¿Se puede utilizar el mismo método para evaluar $$\frac{\partial ^{6}}{\partial a^{3}\partial b^{3}}\mathrm{B}\left ( 1,0^{+} \right ),\frac{\partial ^{6}}{\partial a^{4}\partial b^{2}}\mathrm{B}\left ( 1,0^{+} \right )?$$

Answer 1

Sugerencia : Los ingredientes son $$B\left(a,b\right)=\frac{\Gamma\left(a\right)\Gamma\left(b\right)}{\Gamma\left(a+b\right)} $$ el vínculo entre las funciones Gamma y Polygamma $$\Gamma'\left(z\right)=\Gamma\left(z\right)\psi^{\left(0\right)}\left(z\right),\,\Gamma''\left(z\right)=\Gamma\left(z\right)\left(\psi^{\left(0\right)}\left(z\right)^{2}+\psi^{\left(1\right)}\left(z\right)\right),\dots $$ la relación entre las funciones Polygamma y la función Zeta de Riemann (y Hurwitz) $$\psi^{\left(n\right)}\left(z\right)=\left(-1\right)^{n+1}n!\zeta\left(n+1,z\right) $$ y la asintótica $$\Gamma\left(x\right)=\frac{1}{x}+O\left(1\right) $$ como $x\rightarrow0$ .