Dos cortes de ramas

Question

Con $f(z)$ I denotar la rama de $(z^2-1)^{1/2}$ definido por los cortes de ramas en el $z$-plano a lo largo del eje real de $-1$ $-\infty$e de $1$ $\infty$ $f(z)$real y positivo por encima del último corte.

$g(z)$ denota la rama de $(z^2-1)^{1/2}$ definido por un corte a lo largo del eje real de $-1$ $+1$ $g(z)$real y positivo para $(x-1)$ real y positivo.

Ahora yo no entiendo por qué $f(z)=f(-z)$$g(z)=-g(-z)$? Alguna idea de cómo esto puede ser derivada?

Answer 1

La función de $s(z) = z^2 - 1$ es una función par. Por lo tanto, si $D\subset \mathbb{C}$ es un simétrica de dominio ($D = -D$), y $h$ una rama de $\sqrt{s(z)}$ definido en $D$, $h$ debe ser par o impar de la función, para

$$h(-z)^2 = s(-z) = s(z) = h(z)^2,$$

así que hay un continuo, por lo tanto constante, $\sigma \colon D \to \{-1,1\}$ tal que $h(-z) = \sigma(z) \cdot h(z)$.

Desde $s(0) = -1 \neq 0$ si $0 \in D$, cualquier rama de $\sqrt{s(z)}$ $D$ debe ser par. Que muestra que $f(-z) = f(z)$.

Para $g$, podemos considerar el complemento de la cerrada de la unidad de disco, $A = \{ z \in \mathbb{C} : \lvert z\rvert > 1\}$. En $A$, tenemos

$$g(z) = z\sqrt{1- \frac{1}{z^2}}$$

con la rama principal de la raíz cuadrada usada en $\sqrt{1-z^{-2}}$. Desde $\sqrt{1-z^{-2}}$ es incluso y $z$ es extraño, que muestra $g$ es extraña en las $A$, y por la continuidad en todos los de $\mathbb{C}\setminus [-1,1]$.