¿tienen dos espacios vectoriales la misma dimensión lineal?

Question

Dejemos que $Z$ sea un conjunto contable. Sea $f_1,....,f_n$ sea una colección de funciones reales sobre $Z$ . Dejemos que $z_1,...,z_m,...$ sea una enumeración de elementos de $Z$ .

Definir $V_1 = \{ (f_1(z),...,f_n(z)) | z \in Z\}$ un conjunto de $n$ vectores dimensionales. Definir $V_2 =\{ (f_i(z_1),...,f_i(z_m),..., )) | i \in\{ 1,...,n\} \}$ un conjunto de vectores de dimensión infinita.

Dejemos que $span(V_i)$ sea el tramo (tramo lineal) de $V_i$ . ¿Es la dimensión lineal de $span(V_i)$ lo mismo para $i=1,2$ ?

Answer 1

Permítame reformular su pregunta de manera que sea menos confusa. Definir una matriz $A$ tal que $A_{ij} = f_i(z_j)$ . Esta matriz tiene un número finito de filas pero un número infinito de columnas. Entonces la dimensión del tramo de $V_1$ es el rango de filas de esta matriz, y la dimensión del tramo de $V_2$ es el rango de columnas de esta matriz. Y quieres saber si son iguales.

La respuesta es sí. He aquí una prueba: definir $A_m$ para ser $A$ pero con todas las columnas después del $m^{th}$ columna cortada, y dejar $a_m$ denotan el rango de columnas de $A_m$ . Entonces no es difícil ver que existe $m$ tal que $a_m$ es el rango de columna de $A$ . Ahora aplique el teorema de que el rango de filas es igual al rango de columnas para las matrices ordinarias a $A_m$ .