Solucionar $2000x^6+100x^5+10x^3+x-2=0$

Question

Una de las raíces de la ecuación de $2000x^6+100x^5+10x^3+x-2=0$ es de la forma $\frac{m+\sqrt{n}}r$ donde $m$ es un entero distinto de cero y $n$ $r$ son relativamente primos los números enteros.A continuación, el valor de $m+n+r$ es?

Trató de usar el hecho de que otra raíz se $\frac{m-\sqrt{n}}r$ como coeficientes son racionales, pero hay seis raíces y usando la suma y el producto de las fórmulas permitiría a muchas variables en las ecuaciones.

Answer 1

Tenemos $\displaystyle x+10x^3+100x^5=x\frac{1000x^6-1}{10x^2-1}$. (Una progresión geométrica)

Por lo tanto $\displaystyle -2(1000x^6-1)=x \frac{1000x^6-1}{10x^2-1}$ Por lo tanto cualquiera de las $1000x^6-1=0$ o $x=-2(10x^2-1)$. Por lo tanto, $20x^2+x-2=0$ para la segunda ecuación. Resolviendo obtenemos $$x=\frac{-1\pm \sqrt{161}}{40}$$. Comparando $m=-1, n=161$$r=40$. Por lo tanto $m+n+r=200$

Answer 2

SUGERENCIA: pruebe el ansatz $$(-2+Bx+Ax^2)(1+Cx^2+Dx^4)$$