Se puede proporcionar una prueba de su identidad, utilizando sólo el cálculo?
$$\ln x + 1 = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n+1}{n!} \cdot \frac{(\ln x)^n}{x}$$
Por cierto, aquí es cómo llegué a esto:
No hay cadena de longitud $x$ unidades. Seleccione un punto en la cadena uniformemente al azar y cortar la cadena en ese momento. Repita el proceso con la cadena en el lado izquierdo de la corte hasta que la cadena tiene es más corto de $1$ de la unidad. El problema es determinar el número esperado de recortes.
Aquí está cómo lo hice:
Deje $E(x)$ denotar el número esperado de reducción en una cadena de longitud $x$. Si $x<1$, claramente, $E(x)=0$. Si $x>1$, tenemos:
\begin{align} E(x) &= 1 + \int_0^x E(u) \cdot \frac{du}{x} \\ &= 1 + \frac 1x \int_1^x E(u) \ du \end{align}
Multiplicando por $x$ y la diferenciación (aplicando el Teorema Fundamental del Cálculo),
\begin{align} xE'(x) + E(x) &= 1 + E(x) \\ \Rightarrow E(x) &= \ln x + C \end{align}
Claramente para $x=1, \ E(x)=1$ $E(x) = \ln x + 1$
Sin embargo, también podemos calcular el $E(x)$ de una manera diferente:
Deje $P(n,\ x)$ denotar la probabilidad de que exactamente $n$ recortes que se están realizando en una cadena de longitud $x$.
Si $x<1$, $P(n,\ x) = 0$; si $n=1$ y $x>1$ $P(n,\ x)=\frac 1x$; si $n>1$$x>1$:
\begin{align} P(n,\ x) &= \int_0^x P(n-1,\ u) \cdot \frac{du}{x} \\ &= \frac 1x \int_1^x P(n-1,\ u) \ du \end{align}
He calculado que $P(1,\ x) = \frac 1x,\ P(2,\ x) = \frac{\ln x}{x},\ P(3,\ x) = \frac{(\ln x)^2}{2x},\ P(4,\ x) = \frac{(\ln x)^3}{6x}$
Esto me llevó a la hipótesis de que $P(n,\ x)=\frac{(\ln x)^{n-1}}{x(n-1)!}$, lo que puede ser demostrado por inducción:
\begin{align} P(n,\ x) &= \frac 1x \int_1^x P(n-1,\ u) \ du \\ &= \frac 1x \int_1^x \frac{(\ln u)^{n-2}}{u(n-2)!} \ du \\ &= \frac 1{x(n-2)!} \int_1^x (\ln u)^{n-2}\ d(\ln u) \\ &= \frac 1{x(n-2)!} \left[\frac {(\ln u)^{n-1}}{n-1} \right]_1^x \\ &= \frac{(\ln x)^{n-1}}{x(n-1)!} \end{align}
Pero, a continuación, $E(x)$ puede ser escrita de la siguiente manera:
\begin{align} E(x) &= \sum_{n=1}^{\infty} n \cdot P(n,\ x) \\ &= \sum_{n=1}^{\infty} n \cdot \frac{(\ln x)^{n-1}}{x(n-1)!} \\ &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n+1}{n!} \cdot \frac{(\ln(x))^n}{x} \\ \\ \therefore \ \ln x + 1 &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n+1}{n!} \cdot \frac{(\ln(x))^n}{x} \ \blacksquare \end{align}
Así se puede demostrar este resultado por encontrar un adecuado desarrollo en serie de Taylor (esto sería especialmente apreciado) o si no se utiliza la serie de Taylor, a continuación, utilizando sólo los métodos de cálculo?
