¿Estoy obteniendo la respuesta correcta para la integral $I_n= \int_0^1 \frac{x^n}{\sqrt {x^3+1}}\, dx$ ?

Question

Dejemos que $I_n= \int_0^1 \dfrac{x^n}{\sqrt {x^3+1}}\, dx$ . Demostrar que $(2n-1)I_n+2(n-2)I_{n-3}=2 \sqrt 2$ para todos $n \ge 3$ . Entonces, calcule $I_8$ .

Obtengo una respuesta para $I_8={{2 \sqrt 2} \over 135}(25-16 \sqrt 2)$ Por favor, alguien podría comprobar mi respuesta y ver si he cometido un error.

Answer 1

Realice la integración por pasos:

$$ \begin{array}{rcl} I_8 &=& \displaystyle \int_0^1 \frac{x^8}{\sqrt{x^3 + 1}} dx = \displaystyle \int_0^1 x^6 \frac{x^2}{\sqrt{x^3 + 1}} dx\\ &=& \displaystyle \left[ \frac{2}{3} x^6 \sqrt{x^3+1} \right]_0^1 - \int_0^1 4 x^3 x^2 \sqrt{x^3+1} dx\\ &=& \displaystyle \left[ \frac{2}{3} x^6 \sqrt{x^3+1} \right]_0^1 - \left[ \frac{8}{9} x^3 \sqrt{x^3+1}^3 \right]_0^1 + \int_0^1 \frac{8}{3} x^2 \sqrt{x^3+1}^3 dx\\ &=& \displaystyle \left[ \frac{2}{3} x^6 \sqrt{x^3+1} \right]_0^1 - \left[ \frac{8}{9} x^3 \sqrt{x^3+1}^3 \right]_0^1 + \left[ \frac{16}{45} \sqrt{x^3+1}^5 \right]_0^1\\ &=& \displaystyle \left[ \frac{2}{3} x^6 \sqrt{x^3+1} - \frac{8}{9} x^3 \sqrt{x^3+1}^3 + \frac{16}{45} \sqrt{x^3+1}^5 \right]_0^1\\ &=& \displaystyle \left( \frac{2}{3} - \frac{16}{9} + \frac{64}{45} \right) \sqrt{2} - \frac{16}{45}\\ &=& \displaystyle \bbox[16px,border:2px solid #800000] {\frac{14}{45} \sqrt{2} - \frac{16}{45}} \end{array} $$

Answer 2

Integrando por partes, tenemos

$$\begin{align} I_n&=\int_0^1\frac{x^n}{(1+x^3)^{1/2}}dx\\\\ &=\left.\frac23 x^{n-2}(x^3+1)\right|_0^1-\frac23(n-2)\int_0^1x^{n-3}(x^3+1)^{1/2}dx \tag 1\\\\ &=\frac232^{1/2}-\frac23(n-2)\int_0^1\frac{x^{n-3}(x^3+1)}{(x^3+1)^{1/2}}\,dx \\\\ &=\frac232^{1/2}-\frac23 (n-2)I_n-\frac23(n-2)I_{n-3}\\\\ (2n-1)I_n+2(n-2)I_{n-3}&=2^{3/2} \tag 2\\\\ \end{align}$$

Utilizando $(1)$ podemos ver que $I_2$ dado por

$$I_2=\frac23(\sqrt{2}-1) \tag 3$$

Entonces, utilizando $(2)$ y $(3)$ e iterando una vez a $I_5$

$$I_5=\frac29 (2-\sqrt{2})$$

y de nuevo a $I_8$ revela

$$I_8=\frac{2}{45}(7\sqrt{2}-8)$$

Answer 3

\begin{align*}I_n&=\int_0^1 \dfrac{x^n}{\sqrt{x^3+1}}dx=\int_0^1 \dfrac{x^{n-3}(x^3+1-1)}{\sqrt{x^3+1}}dx = \int_0^1 x^{n-3}\sqrt{x^3+1}dx - \int_0^1 \dfrac{x^{n-3}}{\sqrt{x^3+1}}dx\\ &= \int_0^1 x^{n-3}\sqrt{x^3+1}dx-I_{n-3}\end{align*} Esta integral se maneja con la integración por partes: $$\int_0^1 x^{n-3}\sqrt{x^3+1}dx=\frac{x^{n-2}}{n-2}\sqrt{x^3+1}|_0^1-\frac{3}{2(n-2)}\int_0^1 \dfrac{x^{n}}{\sqrt{x^3+1}}dx=\dfrac{\sqrt{2}}{n-2}-\frac{3}{2(n-2)}I_n$$ Por lo tanto, $$I_n=\dfrac{\sqrt{2}}{n-2}-\frac{3}{2(n-2)}I_n-I_{n-3}$$ o $$(n-2+\frac{3}{2})I_n+(n-2)I_{n-3}=\sqrt{2}\tag{1}$$ Lo que equivale a tu fórmula, así que supongo que tienes razón, aunque no he calculado $I_2$ para comprobar si $I_8$ es correcto.

Answer 4

Si ponemos $$ I_n=\int_0^1\frac{x^n}{\sqrt{x^3+1}}\,\mathrm{d}x\tag{1} $$ Entonces, la integración por partes da $$ \begin{align} I_{n+3}+I_n &=\int_0^1\frac{x^n(x^3+1)}{\sqrt{x^3+1}}\,\mathrm{d}x\\ &=\int_0^1x^n\sqrt{x^3+1}\ \mathrm{d}x\\ &=\frac1{n+1}\int_0^1\sqrt{x^3+1}\ \mathrm{d}x^{n+1}\\ &=\frac1{n+1}\left[\sqrt2-\int_0^1\frac32\frac{x^{n+3}}{\sqrt{x^3+1}}\,\mathrm{d}x\right]\tag{2} \end{align} $$ Aplicando un poco de álgebra a $(2)$ rinde $$ \left(2n+5\right)I_{n+3}+(2n+2)I_n=2\sqrt2\tag{3} $$ que, después de sustituir $n\mapsto n-3$ , da $$ \bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{(2n-1)I_n+(2n-4)I_{n-3}=2\sqrt2}\tag{4} $$ A continuación, sustituye $x\mapsto(x-1)^{1/3}$ : $$ \begin{align} I_8 &=\int_0^1\frac{x^8}{\sqrt{x^3+1}}\,\mathrm{d}x\\ &=\frac13\int_1^2\frac{(x-1)^2}{\sqrt{x}}\,\mathrm{d}x\\ &=\frac13\left[\frac25x^{5/2}-\frac43x^{3/2}+2x^{1/2}\right]_1^2\\ &=\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\frac{14\sqrt2-16}{45}}\tag{5} \end{align} $$