En los anillos con un ideal máximo único

Question

Le agradecería que me guiara a través de la siguiente pregunta:

Supongamos un anillo conmutativo con identidad, $R$ tiene un ideal máximo único, digamos $M$ . Si $M$ es principal, ¿podemos mostrar que cada ideal se genera finamente?

Bueno, estoy considerando los siguientes hechos:

$1)$ Cada ideal $I$ de $R$ se encuentra en un ideal máximo, y ya que tenemos un ideal máximo único, entonces $I$ se encuentra en $M=(m)$ .

$2)$ También podemos considerar el lema de Nakayama: $IM$ es un ideal de $M$ y si IM=M entonces $M=0$ . En particular podemos establecer I=M.

$3)$ Otro hecho que se me ocurre, es que se deduce fácilmente que todas las no unidades forman un ideal en tal anillo, que es $M$ en sí mismo.

Answer 1

Esta pregunta surgió en Math Overflow hace varios años. La contesté negativamente -- aquí .

Estoy bastante seguro de que la pregunta se ha hecho varias veces en este sitio también. Intentaré buscarla. (Pero no soy bueno buscando en este sitio. Se apreciaría la ayuda...)

Answer 2

Como en el enunciado del problema, escribe el ideal máximo como $M = (m)$ . Fíjese que desde $M$ es generada finamente, por el Lemma de Nakayama, $M \neq M^2$ y en general $M^i \neq M^j$ para cualquier $i \neq j$ . Supongamos que lo siguiente se mantiene:

Lemma: $ \cap_ {n=1}^ \infty M^n = 0$ .

Asumiendo el lema, dejemos $I \neq 0$ ser un ideal adecuado de $R$ . Desde $I \subseteq M$ pero $I \not \subseteq \cap_ {n=1}^ \infty M^n$ existe un $n$ de tal manera que $I \subseteq M^n$ pero $I \not \subseteq M^{n+1}$ . Escoge $x \in I \setminus M^{n+1}$ . Como $x \in M^n$ escribe $x = m^ny$ para algunos $y \in R$ . Si $y \in M$ Entonces $x \in M^{n+1}$ una contradicción, así que $y$ es una unidad, es decir. $(x) = (m^n) = M^n$ . Pero entonces $(x) \subseteq I \subseteq M^n = (x)$ así que $I = (x)$ es de hecho el principal.

EDITAR: (colocados más tarde para no interrumpir la continuidad) Junto con el Teorema de la Intersección de Krull, el razonamiento anterior demuestra de hecho que un anillo local $R$ con el ideal máximo principal es noetheriano si es $M$ - separados radicalmente.