Deje $B$ el conjunto de clases de isomorfismo de grafos finitos. Deje $V$ $k$- espacio vectorial libremente generada por $B$. He oído que $V$ lleva la estructura de un álgebra de Hopf, y le gustaría conocer los detalles.
La multiplicación se define por extensión lineal de la inconexión de la unión de los gráficos. La unidad es el vacío de la gráfica. El comultiplication envía un gráfico de $G$ a la suma de $\sum_{S \subseteq V(G)} G|_S \otimes G|_{V(G) \setminus S}$, se ejecuta sobre todos los subconjuntos de vértices de $G$. El counit mapas el vacío de la gráfica de a $1$, y todos los otros gráficos a $0$. He comprobado que tenemos una conmutativa cocommutative bialgebra.
Pregunta. Cómo definir la antípoda?
Aunque la antípoda $S$ de un álgebra de Hopf es único, no puedo ir con él. Estoy bastante seguro de que la antípoda de los mapas de un gráfico a un alternando la suma de los gráficos. Sólo entonces $V \to V \otimes V \xrightarrow{S \otimes V} V \otimes V \to V$ puede cancelar a $V \to k \to V$.
